Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83039 / 16565
↖ ↑ ↗
← N 79.077538°
E 48.073425°		 ← 57.87 m → N 79.077538°
E 48.076172°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.077018°
E 48.073425°		 ← 57.87 m →
3 352 m²		 N 79.077018°
E 48.076172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633541107177734 y=0.126384735107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633541107177734 × 217)
    floor (0.633541107177734 × 131072)
    floor (83039.5)     		tx = 83039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126384735107422 × 217)
    floor (0.126384735107422 × 131072)
    floor (16565.5)     		ty = 16565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83039 / 16565 ti = "17/83039/16565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83039/16565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83039 ÷ 217
    83039 ÷ 131072     		x = 0.633537292480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16565 ÷ 217
    16565 ÷ 131072     		y = 0.126380920410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633537292480469 × 2 - 1) × π
    0.267074584960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.83903955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126380920410156 × 2 - 1) × π
    0.747238159179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.34751791129377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83903955} λ = 0.83903955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34751791129377))-π/2
    2×atan(10.4595758833906)-π/2
    2×1.47547986597095-π/2
    2.9509597319419-1.57079632675     		φ = 1.38016341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83903955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.073425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38016341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.077538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83039 KachelY 16565 0.83903955 1.38016341 48.073425 79.077538
    Oben rechts KachelX + 1 83040 KachelY 16565 0.83908749 1.38016341 48.076172 79.077538
    Unten links KachelX 83039 KachelY + 1 16566 0.83903955 1.38015432 48.073425 79.077018
    Unten rechts KachelX + 1 83040 KachelY + 1 16566 0.83908749 1.38015432 48.076172 79.077018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38016341-1.38015432) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38016341-1.38015432) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83903955-0.83908749) × cos(1.38016341) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189480384081177 × 6371000     		do = 57.8721865235738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83903955-0.83908749) × cos(1.38015432) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189489309403513 × 6371000     		du = 57.8749125467529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38016341)-sin(1.38015432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189480384081177-0.189489309403513)×R²
    abs(0.83908749-0.83903955)×8.92532233554011e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.92532233554011e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.92532233554011e-06×40589641000000     		ar = 3351.59557145244m²