Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83038 / 16560
↖ ↑ ↗
← N 79.080140°
E 48.070679°		 ← 57.85 m → N 79.080140°
E 48.073425°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.079619°
E 48.070679°		 ← 57.85 m →
3 350 m²		 N 79.079619°
E 48.073425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633533477783203 y=0.126346588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633533477783203 × 217)
    floor (0.633533477783203 × 131072)
    floor (83038.5)     		tx = 83038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126346588134766 × 217)
    floor (0.126346588134766 × 131072)
    floor (16560.5)     		ty = 16560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83038 / 16560 ti = "17/83038/16560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83038/16560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83038 ÷ 217
    83038 ÷ 131072     		x = 0.633529663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16560 ÷ 217
    16560 ÷ 131072     		y = 0.1263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633529663085938 × 2 - 1) × π
    0.267059326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83899162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1263427734375 × 2 - 1) × π
    0.747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34775759579187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83899162} λ = 0.83899162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34775759579187))-π/2
    2×atan(10.4620831820549)-π/2
    2×1.47550257105505-π/2
    2.95100514211011-1.57079632675     		φ = 1.38020882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83899162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.070679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38020882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.080140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83038 KachelY 16560 0.83899162 1.38020882 48.070679 79.080140
    Oben rechts KachelX + 1 83039 KachelY 16560 0.83903955 1.38020882 48.073425 79.080140
    Unten links KachelX 83038 KachelY + 1 16561 0.83899162 1.38019973 48.070679 79.079619
    Unten rechts KachelX + 1 83039 KachelY + 1 16561 0.83903955 1.38019973 48.073425 79.079619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38020882-1.38019973) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38020882-1.38019973) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83899162-0.83903955) × cos(1.38020882) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.189435796510393 × 6371000     		do = 57.8464993769819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83899162-0.83903955) × cos(1.38019973) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.189444721910934 × 6371000     		du = 57.8492248554097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38020882)-sin(1.38019973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189435796510393-0.189444721910934)×R²
    abs(0.83903955-0.83899162)×8.9254005413153e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.9254005413153e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.9254005413153e-06×40589641000000     		ar = 3350.10795159027m²