Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83036 / 16342
↖ ↑ ↗
← N 79.192985°
E 48.065185°		 ← 57.27 m → N 79.192985°
E 48.067932°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
N 79.192470°
E 48.065185°		 ← 57.27 m →
3 280 m²		 N 79.192470°
E 48.067932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633518218994141 y=0.124683380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633518218994141 × 217)
    floor (0.633518218994141 × 131072)
    floor (83036.5)     		tx = 83036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124683380126953 × 217)
    floor (0.124683380126953 × 131072)
    floor (16342.5)     		ty = 16342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83036 / 16342 ti = "17/83036/16342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83036/16342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83036 ÷ 217
    83036 ÷ 131072     		x = 0.633514404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16342 ÷ 217
    16342 ÷ 131072     		y = 0.124679565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633514404296875 × 2 - 1) × π
    0.26702880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83889574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124679565429688 × 2 - 1) × π
    0.750640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35820783990904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83889574} λ = 0.83889574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35820783990904))-π/2
    2×atan(10.5719877699686)-π/2
    2×1.47648733461558-π/2
    2.95297466923117-1.57079632675     		φ = 1.38217834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83889574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.065185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38217834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.192985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83036 KachelY 16342 0.83889574 1.38217834 48.065185 79.192985
    Oben rechts KachelX + 1 83037 KachelY 16342 0.83894368 1.38217834 48.067932 79.192985
    Unten links KachelX 83036 KachelY + 1 16343 0.83889574 1.38216935 48.065185 79.192470
    Unten rechts KachelX + 1 83037 KachelY + 1 16343 0.83894368 1.38216935 48.067932 79.192470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38217834-1.38216935) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38217834-1.38216935) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83889574-0.83894368) × cos(1.38217834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18750157223163 × 6371000     		do = 57.2678064499715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83889574-0.83894368) × cos(1.38216935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187510402780134 × 6371000     		du = 57.270503526783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38217834)-sin(1.38216935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18750157223163-0.187510402780134)×R²
    abs(0.83894368-0.83889574)×8.83054850442377e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83054850442377e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83054850442377e-06×40589641000000     		ar = 3280.10745992938m²