Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83032 / 16267
↖ ↑ ↗
← N 79.231541°
E 48.054199°		 ← 57.05 m → N 79.231541°
E 48.056946°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.231029°
E 48.054199°		 ← 57.06 m →
3 253 m²		 N 79.231029°
E 48.056946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633487701416016 y=0.124111175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633487701416016 × 217)
    floor (0.633487701416016 × 131072)
    floor (83032.5)     		tx = 83032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124111175537109 × 217)
    floor (0.124111175537109 × 131072)
    floor (16267.5)     		ty = 16267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83032 / 16267 ti = "17/83032/16267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83032/16267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83032 ÷ 217
    83032 ÷ 131072     		x = 0.63348388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16267 ÷ 217
    16267 ÷ 131072     		y = 0.124107360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63348388671875 × 2 - 1) × π
    0.2669677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83870400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124107360839844 × 2 - 1) × π
    0.751785278320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.36180310738055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83870400} λ = 0.83870400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36180310738055))-π/2
    2×atan(10.6100653021478)-π/2
    2×1.47682379927493-π/2
    2.95364759854985-1.57079632675     		φ = 1.38285127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83870400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.054199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38285127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.231541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83032 KachelY 16267 0.83870400 1.38285127 48.054199 79.231541
    Oben rechts KachelX + 1 83033 KachelY 16267 0.83875193 1.38285127 48.056946 79.231541
    Unten links KachelX 83032 KachelY + 1 16268 0.83870400 1.38284232 48.054199 79.231029
    Unten rechts KachelX + 1 83033 KachelY + 1 16268 0.83875193 1.38284232 48.056946 79.231029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38285127-1.38284232) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38285127-1.38284232) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83870400-0.83875193) × cos(1.38285127) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186840534710668 × 6371000     		do = 57.0540049655699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83870400-0.83875193) × cos(1.38284232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186849327095973 × 6371000     		du = 57.0566898261954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38285127)-sin(1.38284232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186840534710668-0.186849327095973)×R²
    abs(0.83875193-0.83870400)×8.79238530565596e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.79238530565596e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.79238530565596e-06×40589641000000     		ar = 3253.32158356179m²