Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83025 / 16274
↖ ↑ ↗
← N 79.227949°
E 48.034973°		 ← 57.07 m → N 79.227949°
E 48.037719°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
N 79.227436°
E 48.034973°		 ← 57.08 m →
3 258 m²		 N 79.227436°
E 48.037719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633434295654297 y=0.124164581298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633434295654297 × 217)
    floor (0.633434295654297 × 131072)
    floor (83025.5)     		tx = 83025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124164581298828 × 217)
    floor (0.124164581298828 × 131072)
    floor (16274.5)     		ty = 16274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83025 / 16274 ti = "17/83025/16274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83025/16274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83025 ÷ 217
    83025 ÷ 131072     		x = 0.633430480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16274 ÷ 217
    16274 ÷ 131072     		y = 0.124160766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633430480957031 × 2 - 1) × π
    0.266860961914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.83836844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124160766601562 × 2 - 1) × π
    0.751678466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36146754908321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83836844} λ = 0.83836844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36146754908321))-π/2
    2×atan(10.6065056039769)-π/2
    2×1.4767924461619-π/2
    2.95358489232381-1.57079632675     		φ = 1.38278857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83836844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.034973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38278857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.227949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83025 KachelY 16274 0.83836844 1.38278857 48.034973 79.227949
    Oben rechts KachelX + 1 83026 KachelY 16274 0.83841637 1.38278857 48.037719 79.227949
    Unten links KachelX 83025 KachelY + 1 16275 0.83836844 1.38277961 48.034973 79.227436
    Unten rechts KachelX + 1 83026 KachelY + 1 16275 0.83841637 1.38277961 48.037719 79.227436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38278857-1.38277961) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dl = 57.084159999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38278857-1.38277961) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dr = 57.084159999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83836844-0.83841637) × cos(1.38278857) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186902130212401 × 6371000     		do = 57.0728138930179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83836844-0.83841637) × cos(1.38277961) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186910932316607 × 6371000     		du = 57.0755017214266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38278857)-sin(1.38277961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186902130212401-0.186910932316607)×R²
    abs(0.83841637-0.83836844)×8.80210420611816e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.80210420611816e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.80210420611816e-06×40589641000000     		ar = 3258.03035608039m²