Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83025 / 16273
↖ ↑ ↗
← N 79.228462°
E 48.034973°		 ← 57.07 m → N 79.228462°
E 48.037719°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.227949°
E 48.034973°		 ← 57.07 m →
3 254 m²		 N 79.227949°
E 48.037719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633434295654297 y=0.124156951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633434295654297 × 217)
    floor (0.633434295654297 × 131072)
    floor (83025.5)     		tx = 83025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124156951904297 × 217)
    floor (0.124156951904297 × 131072)
    floor (16273.5)     		ty = 16273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83025 / 16273 ti = "17/83025/16273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83025/16273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83025 ÷ 217
    83025 ÷ 131072     		x = 0.633430480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16273 ÷ 217
    16273 ÷ 131072     		y = 0.124153137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633430480957031 × 2 - 1) × π
    0.266860961914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.83836844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124153137207031 × 2 - 1) × π
    0.751693725585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.36151548598283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83836844} λ = 0.83836844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36151548598283))-π/2
    2×atan(10.6070140591582)-π/2
    2×1.47679692581086-π/2
    2.95359385162172-1.57079632675     		φ = 1.38279752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83836844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.034973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38279752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.228462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83025 KachelY 16273 0.83836844 1.38279752 48.034973 79.228462
    Oben rechts KachelX + 1 83026 KachelY 16273 0.83841637 1.38279752 48.037719 79.228462
    Unten links KachelX 83025 KachelY + 1 16274 0.83836844 1.38278857 48.034973 79.227949
    Unten rechts KachelX + 1 83026 KachelY + 1 16274 0.83841637 1.38278857 48.037719 79.227949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38279752-1.38278857) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38279752-1.38278857) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83836844-0.83841637) × cos(1.38279752) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186893337916992 × 6371000     		do = 57.0701290598435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83836844-0.83841637) × cos(1.38278857) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186902130212401 × 6371000     		du = 57.0728138930179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38279752)-sin(1.38278857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186893337916992-0.186902130212401)×R²
    abs(0.83841637-0.83836844)×8.79229540884374e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.79229540884374e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.79229540884374e-06×40589641000000     		ar = 3254.24098568911m²