Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83017 / 21579
↖ ↑ ↗
← N 76.135721°
E 48.013000°		 ← 73.19 m → N 76.135721°
E 48.015747°		 →
↑
73.20 m
↓
↑
73.20 m
↓
N 76.135063°
E 48.013000°		 ← 73.19 m →
5 358 m²		 N 76.135063°
E 48.015747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633373260498047 y=0.164638519287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633373260498047 × 217)
    floor (0.633373260498047 × 131072)
    floor (83017.5)     		tx = 83017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164638519287109 × 217)
    floor (0.164638519287109 × 131072)
    floor (21579.5)     		ty = 21579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83017 / 21579 ti = "17/83017/21579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83017/21579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83017 ÷ 217
    83017 ÷ 131072     		x = 0.633369445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21579 ÷ 217
    21579 ÷ 131072     		y = 0.164634704589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633369445800781 × 2 - 1) × π
    0.266738891601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.83798494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164634704589844 × 2 - 1) × π
    0.670730590820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.10716229659881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83798494} λ = 0.83798494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10716229659881))-π/2
    2×atan(8.22486840061994)-π/2
    2×1.44980766600952-π/2
    2.89961533201904-1.57079632675     		φ = 1.32881901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83798494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.013000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32881901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.135721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83017 KachelY 21579 0.83798494 1.32881901 48.013000 76.135721
    Oben rechts KachelX + 1 83018 KachelY 21579 0.83803288 1.32881901 48.015747 76.135721
    Unten links KachelX 83017 KachelY + 1 21580 0.83798494 1.32880752 48.013000 76.135063
    Unten rechts KachelX + 1 83018 KachelY + 1 21580 0.83803288 1.32880752 48.015747 76.135063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32881901-1.32880752) × R
    1.14899999998919e-05 × 6371000     		dl = 73.2027899993111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32881901-1.32880752) × R
    1.14899999998919e-05 × 6371000     		dr = 73.2027899993111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83798494-0.83803288) × cos(1.32881901) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239622803384243 × 6371000     		do = 73.1869720444589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83798494-0.83803288) × cos(1.32880752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239633958619488 × 6371000     		du = 73.1903791404384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32881901)-sin(1.32880752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239622803384243-0.239633958619488)×R²
    abs(0.83803288-0.83798494)×1.11552352448918e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11552352448918e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11552352448918e-05×40589641000000     		ar = 5357.61524973707m²