Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83017 / 16251
↖ ↑ ↗
← N 79.239749°
E 48.013000°		 ← 57.02 m → N 79.239749°
E 48.015747°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.239236°
E 48.013000°		 ← 57.03 m →
3 252 m²		 N 79.239236°
E 48.015747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633373260498047 y=0.123989105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633373260498047 × 217)
    floor (0.633373260498047 × 131072)
    floor (83017.5)     		tx = 83017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123989105224609 × 217)
    floor (0.123989105224609 × 131072)
    floor (16251.5)     		ty = 16251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83017 / 16251 ti = "17/83017/16251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83017/16251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83017 ÷ 217
    83017 ÷ 131072     		x = 0.633369445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16251 ÷ 217
    16251 ÷ 131072     		y = 0.123985290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633369445800781 × 2 - 1) × π
    0.266738891601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.83798494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123985290527344 × 2 - 1) × π
    0.752029418945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.36257009777447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83798494} λ = 0.83798494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36257009777447))-π/2
    2×atan(10.6182062419257)-π/2
    2×1.47689542473398-π/2
    2.95379084946795-1.57079632675     		φ = 1.38299452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83798494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.013000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38299452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.239749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83017 KachelY 16251 0.83798494 1.38299452 48.013000 79.239749
    Oben rechts KachelX + 1 83018 KachelY 16251 0.83803288 1.38299452 48.015747 79.239749
    Unten links KachelX 83017 KachelY + 1 16252 0.83798494 1.38298557 48.013000 79.239236
    Unten rechts KachelX + 1 83018 KachelY + 1 16252 0.83803288 1.38298557 48.015747 79.239236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38299452-1.38298557) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38299452-1.38298557) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83798494-0.83803288) × cos(1.38299452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186699805389977 × 6371000     		do = 57.0229262190522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83798494-0.83803288) × cos(1.38298557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186708598014744 × 6371000     		du = 57.0256117129782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38299452)-sin(1.38298557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186699805389977-0.186708598014744)×R²
    abs(0.83803288-0.83798494)×8.79262476696785e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.79262476696785e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.79262476696785e-06×40589641000000     		ar = 3251.54947745978m²