Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83016 / 21578
↖ ↑ ↗
← N 76.136379°
E 48.010254°		 ← 73.17 m → N 76.136379°
E 48.013000°		 →
↑
73.14 m
↓
↑
73.14 m
↓
N 76.135721°
E 48.010254°		 ← 73.17 m →
5 352 m²		 N 76.135721°
E 48.013000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633365631103516 y=0.164630889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633365631103516 × 217)
    floor (0.633365631103516 × 131072)
    floor (83016.5)     		tx = 83016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164630889892578 × 217)
    floor (0.164630889892578 × 131072)
    floor (21578.5)     		ty = 21578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83016 / 21578 ti = "17/83016/21578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83016/21578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83016 ÷ 217
    83016 ÷ 131072     		x = 0.63336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21578 ÷ 217
    21578 ÷ 131072     		y = 0.164627075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63336181640625 × 2 - 1) × π
    0.2667236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83793701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164627075195312 × 2 - 1) × π
    0.670745849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10721023349843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83793701} λ = 0.83793701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10721023349843))-π/2
    2×atan(8.22526268476116)-π/2
    2×1.44981340926312-π/2
    2.89962681852624-1.57079632675     		φ = 1.32883049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83793701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32883049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.136379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83016 KachelY 21578 0.83793701 1.32883049 48.010254 76.136379
    Oben rechts KachelX + 1 83017 KachelY 21578 0.83798494 1.32883049 48.013000 76.136379
    Unten links KachelX 83016 KachelY + 1 21579 0.83793701 1.32881901 48.010254 76.135721
    Unten rechts KachelX + 1 83017 KachelY + 1 21579 0.83798494 1.32881901 48.013000 76.135721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32883049-1.32881901) × R
    1.14800000001747e-05 × 6371000     		dl = 73.1390800011129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32883049-1.32881901) × R
    1.14800000001747e-05 × 6371000     		dr = 73.1390800011129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83793701-0.83798494) × cos(1.32883049) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239611657826051 × 6371000     		do = 73.168302245473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83793701-0.83798494) × cos(1.32881901) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239622803384243 × 6371000     		du = 73.171705675748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32883049)-sin(1.32881901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239611657826051-0.239622803384243)×R²
    abs(0.83798494-0.83793701)×1.11455581920661e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11455581920661e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11455581920661e-05×40589641000000     		ar = 5351.58677351865m²