Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83014 / 21582
↖ ↑ ↗
← N 76.133746°
E 48.004761°		 ← 73.20 m → N 76.133746°
E 48.007507°		 →
↑
73.20 m
↓
↑
73.20 m
↓
N 76.133088°
E 48.004761°		 ← 73.20 m →
5 358 m²		 N 76.133088°
E 48.007507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633350372314453 y=0.164661407470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633350372314453 × 217)
    floor (0.633350372314453 × 131072)
    floor (83014.5)     		tx = 83014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164661407470703 × 217)
    floor (0.164661407470703 × 131072)
    floor (21582.5)     		ty = 21582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83014 / 21582 ti = "17/83014/21582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83014/21582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83014 ÷ 217
    83014 ÷ 131072     		x = 0.633346557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21582 ÷ 217
    21582 ÷ 131072     		y = 0.164657592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633346557617188 × 2 - 1) × π
    0.266693115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83784113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164657592773438 × 2 - 1) × π
    0.670684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10701848589995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83784113} λ = 0.83784113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10701848589995))-π/2
    2×atan(8.22368566159452)-π/2
    2×1.44979043464488-π/2
    2.89958086928976-1.57079632675     		φ = 1.32878454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83784113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.004761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32878454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.133746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83014 KachelY 21582 0.83784113 1.32878454 48.004761 76.133746
    Oben rechts KachelX + 1 83015 KachelY 21582 0.83788907 1.32878454 48.007507 76.133746
    Unten links KachelX 83014 KachelY + 1 21583 0.83784113 1.32877305 48.004761 76.133088
    Unten rechts KachelX + 1 83015 KachelY + 1 21583 0.83788907 1.32877305 48.007507 76.133088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32878454-1.32877305) × R
    1.14900000001139e-05 × 6371000     		dl = 73.2027900007257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32878454-1.32877305) × R
    1.14900000001139e-05 × 6371000     		dr = 73.2027900007257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83784113-0.83788907) × cos(1.32878454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239656268995067 × 6371000     		do = 73.1971933034093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83784113-0.83788907) × cos(1.32877305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239667424135398 × 6371000     		du = 73.2006003703998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32878454)-sin(1.32877305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239656268995067-0.239667424135398)×R²
    abs(0.83788907-0.83784113)×1.11551403312038e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11551403312038e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11551403312038e-05×40589641000000     		ar = 5358.36347352991m²