Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83012 / 21584
↖ ↑ ↗
← N 76.132429°
E 47.999268°		 ← 73.19 m → N 76.132429°
E 48.002014°		 →
↑
73.20 m
↓
↑
73.20 m
↓
N 76.131771°
E 47.999268°		 ← 73.19 m →
5 358 m²		 N 76.131771°
E 48.002014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633335113525391 y=0.164676666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633335113525391 × 217)
    floor (0.633335113525391 × 131072)
    floor (83012.5)     		tx = 83012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164676666259766 × 217)
    floor (0.164676666259766 × 131072)
    floor (21584.5)     		ty = 21584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83012 / 21584 ti = "17/83012/21584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83012/21584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83012 ÷ 217
    83012 ÷ 131072     		x = 0.633331298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21584 ÷ 217
    21584 ÷ 131072     		y = 0.1646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633331298828125 × 2 - 1) × π
    0.26666259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83774526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1646728515625 × 2 - 1) × π
    0.670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10692261210071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83774526} λ = 0.83774526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10692261210071))-π/2
    2×atan(8.22289726340035)-π/2
    2×1.4497789457318-π/2
    2.89955789146361-1.57079632675     		φ = 1.32876156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83774526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.999268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32876156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.132429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83012 KachelY 21584 0.83774526 1.32876156 47.999268 76.132429
    Oben rechts KachelX + 1 83013 KachelY 21584 0.83779319 1.32876156 48.002014 76.132429
    Unten links KachelX 83012 KachelY + 1 21585 0.83774526 1.32875007 47.999268 76.131771
    Unten rechts KachelX + 1 83013 KachelY + 1 21585 0.83779319 1.32875007 48.002014 76.131771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32876156-1.32875007) × R
    1.14900000001139e-05 × 6371000     		dl = 73.2027900007257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32876156-1.32875007) × R
    1.14900000001139e-05 × 6371000     		dr = 73.2027900007257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83774526-0.83779319) × cos(1.32876156) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.239678579244088 × 6371000     		do = 73.1887375053658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83774526-0.83779319) × cos(1.32875007) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.239689734321136 × 6371000     		du = 73.192143842338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32876156)-sin(1.32875007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239678579244088-0.239689734321136)×R²
    abs(0.83779319-0.83774526)×1.11550770479085e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.11550770479085e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.11550770479085e-05×40589641000000     		ar = 5357.74445878708m²