Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83004 / 16270
↖ ↑ ↗
← N 79.230002°
E 47.977295°		 ← 57.07 m → N 79.230002°
E 47.980042°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
N 79.229489°
E 47.977295°		 ← 57.08 m →
3 258 m²		 N 79.229489°
E 47.980042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633274078369141 y=0.124134063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633274078369141 × 217)
    floor (0.633274078369141 × 131072)
    floor (83004.5)     		tx = 83004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124134063720703 × 217)
    floor (0.124134063720703 × 131072)
    floor (16270.5)     		ty = 16270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83004 / 16270 ti = "17/83004/16270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83004/16270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83004 ÷ 217
    83004 ÷ 131072     		x = 0.633270263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16270 ÷ 217
    16270 ÷ 131072     		y = 0.124130249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633270263671875 × 2 - 1) × π
    0.26654052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83736176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124130249023438 × 2 - 1) × π
    0.751739501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36165929668169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83736176} λ = 0.83736176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36165929668169))-π/2
    2×atan(10.6085395709527)-π/2
    2×1.47681036349205-π/2
    2.95362072698409-1.57079632675     		φ = 1.38282440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83736176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.977295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38282440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.230002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83004 KachelY 16270 0.83736176 1.38282440 47.977295 79.230002
    Oben rechts KachelX + 1 83005 KachelY 16270 0.83740970 1.38282440 47.980042 79.230002
    Unten links KachelX 83004 KachelY + 1 16271 0.83736176 1.38281544 47.977295 79.229489
    Unten rechts KachelX + 1 83005 KachelY + 1 16271 0.83740970 1.38281544 47.980042 79.229489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38282440-1.38281544) × R
    8.96000000016883e-06 × 6371000     		dl = 57.0841600010756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38282440-1.38281544) × R
    8.96000000016883e-06 × 6371000     		dr = 57.0841600010756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83736176-0.83740970) × cos(1.38282440) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186866931469387 × 6371000     		do = 57.0739708256616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83736176-0.83740970) × cos(1.38281544) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186875733633592 × 6371000     		du = 57.0766592331774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38282440)-sin(1.38281544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186866931469387-0.186875733633592)×R²
    abs(0.83740970-0.83736176)×8.80216420456881e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.80216420456881e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.80216420456881e-06×40589641000000     		ar = 3258.09641529338m²