Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83004 / 16263
↖ ↑ ↗
← N 79.233594°
E 47.977295°		 ← 57.06 m → N 79.233594°
E 47.980042°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.233081°
E 47.977295°		 ← 57.06 m →
3 253 m²		 N 79.233081°
E 47.980042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633274078369141 y=0.124080657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633274078369141 × 217)
    floor (0.633274078369141 × 131072)
    floor (83004.5)     		tx = 83004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124080657958984 × 217)
    floor (0.124080657958984 × 131072)
    floor (16263.5)     		ty = 16263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83004 / 16263 ti = "17/83004/16263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83004/16263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83004 ÷ 217
    83004 ÷ 131072     		x = 0.633270263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16263 ÷ 217
    16263 ÷ 131072     		y = 0.124076843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633270263671875 × 2 - 1) × π
    0.26654052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83736176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124076843261719 × 2 - 1) × π
    0.751846313476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.36199485497903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83736176} λ = 0.83736176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36199485497903))-π/2
    2×atan(10.6120999517526)-π/2
    2×1.47684171069962-π/2
    2.95368342139925-1.57079632675     		φ = 1.38288709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83736176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.977295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38288709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.233594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83004 KachelY 16263 0.83736176 1.38288709 47.977295 79.233594
    Oben rechts KachelX + 1 83005 KachelY 16263 0.83740970 1.38288709 47.980042 79.233594
    Unten links KachelX 83004 KachelY + 1 16264 0.83736176 1.38287814 47.977295 79.233081
    Unten rechts KachelX + 1 83005 KachelY + 1 16264 0.83740970 1.38287814 47.980042 79.233081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38288709-1.38287814) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38288709-1.38287814) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83736176-0.83740970) × cos(1.38288709) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186805345371849 × 6371000     		do = 57.0551608462474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83736176-0.83740970) × cos(1.38287814) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18681413781705 × 6371000     		du = 57.0578462853291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38288709)-sin(1.38287814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186805345371849-0.18681413781705)×R²
    abs(0.83740970-0.83736176)×8.79244520043954e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.79244520043954e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.79244520043954e-06×40589641000000     		ar = 3253.38750871597m²