Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 830 / 1594
↖ ↑ ↗
← S 70.259452°
W 34.101563°		 ← 6 601.90 m → S 70.259452°
W 33.925781°		 →
↑
6 592.33 m
↓
↑
6 592.33 m
↓
S 70.318738°
W 34.101563°		 ← 6 582.86 m →
43 459 124 m²		 S 70.318738°
W 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405517578125 y=0.778564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405517578125 × 211)
    floor (0.405517578125 × 2048)
    floor (830.5)     		tx = 830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778564453125 × 211)
    floor (0.778564453125 × 2048)
    floor (1594.5)     		ty = 1594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 830 / 1594 ti = "11/830/1594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/830/1594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 830 ÷ 211
    830 ÷ 2048     		x = 0.4052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1594 ÷ 211
    1594 ÷ 2048     		y = 0.7783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4052734375 × 2 - 1) × π
    -0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7783203125 × 2 - 1) × π
    -0.556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74873809813965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59518455} λ = -0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74873809813965))-π/2
    2×atan(0.173993367529675)-π/2
    2×0.172268779379758-π/2
    0.344537558759516-1.57079632675     		φ = -1.22625877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22625877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.259452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 830 KachelY 1594 -0.59518455 -1.22625877 -34.101563 -70.259452
    Oben rechts KachelX + 1 831 KachelY 1594 -0.59211658 -1.22625877 -33.925781 -70.259452
    Unten links KachelX 830 KachelY + 1 1595 -0.59518455 -1.22729351 -34.101563 -70.318738
    Unten rechts KachelX + 1 831 KachelY + 1 1595 -0.59211658 -1.22729351 -33.925781 -70.318738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22625877--1.22729351) × R
    0.00103473999999992 × 6371000     		dl = 6592.32853999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22625877--1.22729351) × R
    0.00103473999999992 × 6371000     		dr = 6592.32853999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59518455--0.59211658) × cos(-1.22625877) × R
    0.00306797000000003 × 0.337761447152447 × 6371000     		do = 6601.89769930636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59518455--0.59211658) × cos(-1.22729351) × R
    0.00306797000000003 × 0.336787336368205 × 6371000     		du = 6582.8576940021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22625877)-sin(-1.22729351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337761447152447-0.336787336368205)×R²
    abs(-0.59211658--0.59518455)×0.000974110784241977×R²
    0.00306797000000003×0.000974110784241977×6371000²
    0.00306797000000003×0.000974110784241977×40589641000000     		ar = 43459123.5137052m²