Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82980 / 21490
↖ ↑ ↗
← N 76.194174°
E 47.911377°		 ← 72.87 m → N 76.194174°
E 47.914123°		 →
↑
72.88 m
↓
↑
72.88 m
↓
N 76.193519°
E 47.911377°		 ← 72.87 m →
5 311 m²		 N 76.193519°
E 47.914123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633090972900391 y=0.163959503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633090972900391 × 217)
    floor (0.633090972900391 × 131072)
    floor (82980.5)     		tx = 82980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163959503173828 × 217)
    floor (0.163959503173828 × 131072)
    floor (21490.5)     		ty = 21490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82980 / 21490 ti = "17/82980/21490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82980/21490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82980 ÷ 217
    82980 ÷ 131072     		x = 0.633087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21490 ÷ 217
    21490 ÷ 131072     		y = 0.163955688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633087158203125 × 2 - 1) × π
    0.26617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83621128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163955688476562 × 2 - 1) × π
    0.672088623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11142868066499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83621128} λ = 0.83621128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11142868066499))-π/2
    2×atan(8.26003380934039)-π/2
    2×1.45031777020835-π/2
    2.9006355404167-1.57079632675     		φ = 1.32983921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83621128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.911377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32983921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.194174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82980 KachelY 21490 0.83621128 1.32983921 47.911377 76.194174
    Oben rechts KachelX + 1 82981 KachelY 21490 0.83625921 1.32983921 47.914123 76.194174
    Unten links KachelX 82980 KachelY + 1 21491 0.83621128 1.32982777 47.911377 76.193519
    Unten rechts KachelX + 1 82981 KachelY + 1 21491 0.83625921 1.32982777 47.914123 76.193519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32983921-1.32982777) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dl = 72.8842399998324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32983921-1.32982777) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dr = 72.8842399998324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83621128-0.83625921) × cos(1.32983921) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238632201298025 × 6371000     		do = 72.8692134117781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83621128-0.83625921) × cos(1.32982777) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238643310781047 × 6371000     		du = 72.8726058260661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32983921)-sin(1.32982777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238632201298025-0.238643310781047)×R²
    abs(0.83625921-0.83621128)×1.11094830223812e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11094830223812e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11094830223812e-05×40589641000000     		ar = 5311.14086591037m²