Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8298 / 6555
↖ ↑ ↗
← N 80.736771°
W134.417725°		 ← 98.33 m → N 80.736771°
W134.412231°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
N 80.735886°
W134.417725°		 ← 98.34 m →
9 673 m²		 N 80.735886°
W134.412231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126625061035156 y=0.100028991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126625061035156 × 216)
    floor (0.126625061035156 × 65536)
    floor (8298.5)     		tx = 8298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100028991699219 × 216)
    floor (0.100028991699219 × 65536)
    floor (6555.5)     		ty = 6555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8298 / 6555 ti = "16/8298/6555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8298/6555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8298 ÷ 216
    8298 ÷ 65536     		x = 0.126617431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6555 ÷ 216
    6555 ÷ 65536     		y = 0.100021362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.74676513671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34603187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100021362304688 × 2 - 1) × π
    0.799957275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51313989948106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34603187} λ = -2.34603187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51313989948106))-π/2
    2×atan(12.3436270245179)-π/2
    2×1.48995940214399-π/2
    2.97991880428797-1.57079632675     		φ = 1.40912248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34603187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.417725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40912248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.736771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8298 KachelY 6555 -2.34603187 1.40912248 -134.417725 80.736771
    Oben rechts KachelX + 1 8299 KachelY 6555 -2.34593599 1.40912248 -134.412231 80.736771
    Unten links KachelX 8298 KachelY + 1 6556 -2.34603187 1.40910704 -134.417725 80.735886
    Unten rechts KachelX + 1 8299 KachelY + 1 6556 -2.34593599 1.40910704 -134.412231 80.735886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40912248-1.40910704) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dl = 98.3682399991506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40912248-1.40910704) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dr = 98.3682399991506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34603187--2.34593599) × cos(1.40912248) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160970449880838 × 6371000     		do = 98.3290375459115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34603187--2.34593599) × cos(1.40910704) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160985688512104 × 6371000     		du = 98.3383460863731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40912248)-sin(1.40910704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160970449880838-0.160985688512104)×R²
    abs(-2.34593599--2.34603187)×1.52386312652908e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.52386312652908e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.52386312652908e-05×40589641000000     		ar = 9672.91219700381m²