Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8298 / 25002
↖ ↑ ↗
← N 39.189691°
W134.417725°		 ← 473.45 m → N 39.189691°
W134.412231°		 →
↑
473.43 m
↓
↑
473.43 m
↓
N 39.185433°
W134.417725°		 ← 473.47 m →
224 150 m²		 N 39.185433°
W134.412231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126625061035156 y=0.381507873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126625061035156 × 216)
    floor (0.126625061035156 × 65536)
    floor (8298.5)     		tx = 8298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381507873535156 × 216)
    floor (0.381507873535156 × 65536)
    floor (25002.5)     		ty = 25002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8298 / 25002 ti = "16/8298/25002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8298/25002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8298 ÷ 216
    8298 ÷ 65536     		x = 0.126617431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25002 ÷ 216
    25002 ÷ 65536     		y = 0.381500244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.74676513671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34603187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381500244140625 × 2 - 1) × π
    0.23699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.744555924898712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34603187} λ = -2.34603187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744555924898712))-π/2
    2×atan(2.10550622445435)-π/2
    2×1.12739273222257-π/2
    2.25478546444514-1.57079632675     		φ = 0.68398914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34603187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.417725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68398914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.189691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8298 KachelY 25002 -2.34603187 0.68398914 -134.417725 39.189691
    Oben rechts KachelX + 1 8299 KachelY 25002 -2.34593599 0.68398914 -134.412231 39.189691
    Unten links KachelX 8298 KachelY + 1 25003 -2.34603187 0.68391483 -134.417725 39.185433
    Unten rechts KachelX + 1 8299 KachelY + 1 25003 -2.34593599 0.68391483 -134.412231 39.185433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68398914-0.68391483) × R
    7.43100000000219e-05 × 6371000     		dl = 473.429010000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68398914-0.68391483) × R
    7.43100000000219e-05 × 6371000     		dr = 473.429010000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34603187--2.34593599) × cos(0.68398914) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.775058195158094 × 6371000     		do = 473.44544559814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34603187--2.34593599) × cos(0.68391483) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.775105148753559 × 6371000     		du = 473.474127271421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68398914)-sin(0.68391483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775058195158094-0.775105148753559)×R²
    abs(-2.34593599--2.34603187)×4.69535954651379e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.69535954651379e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.69535954651379e-05×40589641000000     		ar = 224149.598069777m²