Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82978 / 21446
↖ ↑ ↗
← N 76.222984°
E 47.905884°		 ← 72.74 m → N 76.222984°
E 47.908630°		 →
↑
72.76 m
↓
↑
72.76 m
↓
N 76.222329°
E 47.905884°		 ← 72.74 m →
5 292 m²		 N 76.222329°
E 47.908630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633075714111328 y=0.163623809814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633075714111328 × 217)
    floor (0.633075714111328 × 131072)
    floor (82978.5)     		tx = 82978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163623809814453 × 217)
    floor (0.163623809814453 × 131072)
    floor (21446.5)     		ty = 21446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82978 / 21446 ti = "17/82978/21446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82978/21446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82978 ÷ 217
    82978 ÷ 131072     		x = 0.633071899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21446 ÷ 217
    21446 ÷ 131072     		y = 0.163619995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633071899414062 × 2 - 1) × π
    0.266143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83611540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163619995117188 × 2 - 1) × π
    0.672760009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11353790424828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83611540} λ = 0.83611540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11353790424828))-π/2
    2×atan(8.27747445409351)-π/2
    2×1.45056917696275-π/2
    2.90113835392549-1.57079632675     		φ = 1.33034203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83611540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33034203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.222984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82978 KachelY 21446 0.83611540 1.33034203 47.905884 76.222984
    Oben rechts KachelX + 1 82979 KachelY 21446 0.83616334 1.33034203 47.908630 76.222984
    Unten links KachelX 82978 KachelY + 1 21447 0.83611540 1.33033061 47.905884 76.222329
    Unten rechts KachelX + 1 82979 KachelY + 1 21447 0.83616334 1.33033061 47.908630 76.222329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33034203-1.33033061) × R
    1.14199999998732e-05 × 6371000     		dl = 72.7568199991921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33034203-1.33033061) × R
    1.14199999998732e-05 × 6371000     		dr = 72.7568199991921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83611540-0.83616334) × cos(1.33034203) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.238143877611496 × 6371000     		do = 72.7352700460813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83611540-0.83616334) × cos(1.33033061) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.238154969041277 × 6371000     		du = 72.7386576542299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33034203)-sin(1.33033061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238143877611496-0.238154969041277)×R²
    abs(0.83616334-0.83611540)×1.10914297811737e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.10914297811737e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.10914297811737e-05×40589641000000     		ar = 5292.11018623253m²