Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82978 / 21445
↖ ↑ ↗
← N 76.223637°
E 47.905884°		 ← 72.73 m → N 76.223637°
E 47.908630°		 →
↑
72.69 m
↓
↑
72.69 m
↓
N 76.222984°
E 47.905884°		 ← 72.74 m →
5 287 m²		 N 76.222984°
E 47.908630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633075714111328 y=0.163616180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633075714111328 × 217)
    floor (0.633075714111328 × 131072)
    floor (82978.5)     		tx = 82978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163616180419922 × 217)
    floor (0.163616180419922 × 131072)
    floor (21445.5)     		ty = 21445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82978 / 21445 ti = "17/82978/21445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82978/21445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82978 ÷ 217
    82978 ÷ 131072     		x = 0.633071899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21445 ÷ 217
    21445 ÷ 131072     		y = 0.163612365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633071899414062 × 2 - 1) × π
    0.266143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83611540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163612365722656 × 2 - 1) × π
    0.672775268554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.1135858411479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83611540} λ = 0.83611540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1135858411479))-π/2
    2×atan(8.27787126006627)-π/2
    2×1.45057488476952-π/2
    2.90114976953904-1.57079632675     		φ = 1.33035344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83611540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33035344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.223637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82978 KachelY 21445 0.83611540 1.33035344 47.905884 76.223637
    Oben rechts KachelX + 1 82979 KachelY 21445 0.83616334 1.33035344 47.908630 76.223637
    Unten links KachelX 82978 KachelY + 1 21446 0.83611540 1.33034203 47.905884 76.222984
    Unten rechts KachelX + 1 82979 KachelY + 1 21446 0.83616334 1.33034203 47.908630 76.222984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33035344-1.33034203) × R
    1.1410000000156e-05 × 6371000     		dl = 72.693110000994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33035344-1.33034203) × R
    1.1410000000156e-05 × 6371000     		dr = 72.693110000994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83611540-0.83616334) × cos(1.33035344) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.238132795862983 × 6371000     		do = 72.7318853948412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83611540-0.83616334) × cos(1.33034203) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.238143877611496 × 6371000     		du = 72.7352700460813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33035344)-sin(1.33034203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238132795862983-0.238143877611496)×R²
    abs(0.83616334-0.83611540)×1.10817485132197e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.10817485132197e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.10817485132197e-05×40589641000000     		ar = 5287.22996609988m²