Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82977 / 21448
↖ ↑ ↗
← N 76.221675°
E 47.903137°		 ← 72.73 m → N 76.221675°
E 47.905884°		 →
↑
72.69 m
↓
↑
72.69 m
↓
N 76.221021°
E 47.903137°		 ← 72.73 m →
5 287 m²		 N 76.221021°
E 47.905884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633068084716797 y=0.163639068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633068084716797 × 217)
    floor (0.633068084716797 × 131072)
    floor (82977.5)     		tx = 82977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163639068603516 × 217)
    floor (0.163639068603516 × 131072)
    floor (21448.5)     		ty = 21448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82977 / 21448 ti = "17/82977/21448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82977/21448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82977 ÷ 217
    82977 ÷ 131072     		x = 0.633064270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21448 ÷ 217
    21448 ÷ 131072     		y = 0.16363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633064270019531 × 2 - 1) × π
    0.266128540039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.83606747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16363525390625 × 2 - 1) × π
    0.6727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11344203044904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83606747} λ = 0.83606747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11344203044904))-π/2
    2×atan(8.27668089921066)-π/2
    2×1.45055776055194-π/2
    2.90111552110389-1.57079632675     		φ = 1.33031919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83606747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.903137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33031919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.221675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82977 KachelY 21448 0.83606747 1.33031919 47.903137 76.221675
    Oben rechts KachelX + 1 82978 KachelY 21448 0.83611540 1.33031919 47.905884 76.221675
    Unten links KachelX 82977 KachelY + 1 21449 0.83606747 1.33030778 47.903137 76.221021
    Unten rechts KachelX + 1 82978 KachelY + 1 21449 0.83611540 1.33030778 47.905884 76.221021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33031919-1.33030778) × R
    1.1409999999934e-05 × 6371000     		dl = 72.6931099995793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33031919-1.33030778) × R
    1.1409999999934e-05 × 6371000     		dr = 72.6931099995793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83606747-0.83611540) × cos(1.33031919) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.238166060439999 × 6371000     		do = 72.7268716929369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83606747-0.83611540) × cos(1.33030778) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.238177142095443 × 6371000     		du = 72.730255609739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33031919)-sin(1.33030778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238166060439999-0.238177142095443)×R²
    abs(0.83611540-0.83606747)×1.10816554438342e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.10816554438342e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.10816554438342e-05×40589641000000     		ar = 5286.86547758392m²