Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82973 / 21493
↖ ↑ ↗
← N 76.192208°
E 47.892151°		 ← 72.89 m → N 76.192208°
E 47.894898°		 →
↑
72.88 m
↓
↑
72.88 m
↓
N 76.191552°
E 47.892151°		 ← 72.90 m →
5 313 m²		 N 76.191552°
E 47.894898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633037567138672 y=0.163982391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633037567138672 × 217)
    floor (0.633037567138672 × 131072)
    floor (82973.5)     		tx = 82973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163982391357422 × 217)
    floor (0.163982391357422 × 131072)
    floor (21493.5)     		ty = 21493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82973 / 21493 ti = "17/82973/21493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82973/21493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82973 ÷ 217
    82973 ÷ 131072     		x = 0.633033752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21493 ÷ 217
    21493 ÷ 131072     		y = 0.163978576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633033752441406 × 2 - 1) × π
    0.266067504882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.83587572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163978576660156 × 2 - 1) × π
    0.672042846679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.11128486996613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83587572} λ = 0.83587572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11128486996613))-π/2
    2×atan(8.25884601351659)-π/2
    2×1.45030061007855-π/2
    2.90060122015711-1.57079632675     		φ = 1.32980489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83587572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.892151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32980489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.192208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82973 KachelY 21493 0.83587572 1.32980489 47.892151 76.192208
    Oben rechts KachelX + 1 82974 KachelY 21493 0.83592366 1.32980489 47.894898 76.192208
    Unten links KachelX 82973 KachelY + 1 21494 0.83587572 1.32979345 47.892151 76.191552
    Unten rechts KachelX + 1 82974 KachelY + 1 21494 0.83592366 1.32979345 47.894898 76.191552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32980489-1.32979345) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dl = 72.8842399998324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32980489-1.32979345) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dr = 72.8842399998324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83587572-0.83592366) × cos(1.32980489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238665529653395 × 6371000     		do = 72.8945960068322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83587572-0.83592366) × cos(1.32979345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238676639042716 × 6371000     		du = 72.8979891002867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32980489)-sin(1.32979345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238665529653395-0.238676639042716)×R²
    abs(0.83592366-0.83587572)×1.11093893216951e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11093893216951e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11093893216951e-05×40589641000000     		ar = 5312.99088169223m²