Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82972 / 21532
↖ ↑ ↗
← N 76.166619°
E 47.889404°		 ← 73.03 m → N 76.166619°
E 47.892151°		 →
↑
73.01 m
↓
↑
73.01 m
↓
N 76.165963°
E 47.889404°		 ← 73.03 m →
5 332 m²		 N 76.165963°
E 47.892151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633029937744141 y=0.164279937744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633029937744141 × 217)
    floor (0.633029937744141 × 131072)
    floor (82972.5)     		tx = 82972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164279937744141 × 217)
    floor (0.164279937744141 × 131072)
    floor (21532.5)     		ty = 21532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82972 / 21532 ti = "17/82972/21532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82972/21532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82972 ÷ 217
    82972 ÷ 131072     		x = 0.633026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21532 ÷ 217
    21532 ÷ 131072     		y = 0.164276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633026123046875 × 2 - 1) × π
    0.26605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83582778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164276123046875 × 2 - 1) × π
    0.67144775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10941533088095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83582778} λ = 0.83582778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10941533088095))-π/2
    2×atan(8.24342020216743)-π/2
    2×1.45007731018045-π/2
    2.90015462036091-1.57079632675     		φ = 1.32935829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83582778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.889404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32935829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.166619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82972 KachelY 21532 0.83582778 1.32935829 47.889404 76.166619
    Oben rechts KachelX + 1 82973 KachelY 21532 0.83587572 1.32935829 47.892151 76.166619
    Unten links KachelX 82972 KachelY + 1 21533 0.83582778 1.32934683 47.889404 76.165963
    Unten rechts KachelX + 1 82973 KachelY + 1 21533 0.83587572 1.32934683 47.892151 76.165963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32935829-1.32934683) × R
    1.14600000000742e-05 × 6371000     		dl = 73.0116600004727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32935829-1.32934683) × R
    1.14600000000742e-05 × 6371000     		dr = 73.0116600004727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83582778-0.83587572) × cos(1.32935829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239099199915317 × 6371000     		do = 73.0270500674957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83582778-0.83587572) × cos(1.32934683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239110327503984 × 6371000     		du = 73.0304487194986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32935829)-sin(1.32934683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239099199915317-0.239110327503984)×R²
    abs(0.83587572-0.83582778)×1.11275886666984e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11275886666984e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11275886666984e-05×40589641000000     		ar = 5331.95022090821m²