Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82971 / 21546
↖ ↑ ↗
← N 76.157423°
E 47.886657°		 ← 73.07 m → N 76.157423°
E 47.889404°		 →
↑
73.08 m
↓
↑
73.08 m
↓
N 76.156766°
E 47.886657°		 ← 73.08 m →
5 340 m²		 N 76.156766°
E 47.889404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633022308349609 y=0.164386749267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633022308349609 × 217)
    floor (0.633022308349609 × 131072)
    floor (82971.5)     		tx = 82971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164386749267578 × 217)
    floor (0.164386749267578 × 131072)
    floor (21546.5)     		ty = 21546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82971 / 21546 ti = "17/82971/21546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82971/21546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82971 ÷ 217
    82971 ÷ 131072     		x = 0.633018493652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21546 ÷ 217
    21546 ÷ 131072     		y = 0.164382934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633018493652344 × 2 - 1) × π
    0.266036987304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.83577984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164382934570312 × 2 - 1) × π
    0.671234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10874421428627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83577984} λ = 0.83577984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10874421428627))-π/2
    2×atan(8.23788976206547)-π/2
    2×1.44999705231432-π/2
    2.89999410462865-1.57079632675     		φ = 1.32919778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83577984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.886657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32919778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.157423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82971 KachelY 21546 0.83577984 1.32919778 47.886657 76.157423
    Oben rechts KachelX + 1 82972 KachelY 21546 0.83582778 1.32919778 47.889404 76.157423
    Unten links KachelX 82971 KachelY + 1 21547 0.83577984 1.32918631 47.886657 76.156766
    Unten rechts KachelX + 1 82972 KachelY + 1 21547 0.83582778 1.32918631 47.889404 76.156766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32919778-1.32918631) × R
    1.14700000000134e-05 × 6371000     		dl = 73.0753700000855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32919778-1.32918631) × R
    1.14700000000134e-05 × 6371000     		dr = 73.0753700000855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83577984-0.83582778) × cos(1.32919778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239255051265442 × 6371000     		do = 73.0746510814375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83577984-0.83582778) × cos(1.32918631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239266188123685 × 6371000     		du = 73.0780525646078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32919778)-sin(1.32918631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239255051265442-0.239266188123685)×R²
    abs(0.83582778-0.83577984)×1.11368582434712e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11368582434712e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11368582434712e-05×40589641000000     		ar = 5340.08144774824m²