Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82967 / 21575
↖ ↑ ↗
← N 76.138353°
E 47.875672°		 ← 73.16 m → N 76.138353°
E 47.878418°		 →
↑
73.20 m
↓
↑
73.20 m
↓
N 76.137695°
E 47.875672°		 ← 73.16 m →
5 356 m²		 N 76.137695°
E 47.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632991790771484 y=0.164608001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632991790771484 × 217)
    floor (0.632991790771484 × 131072)
    floor (82967.5)     		tx = 82967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164608001708984 × 217)
    floor (0.164608001708984 × 131072)
    floor (21575.5)     		ty = 21575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82967 / 21575 ti = "17/82967/21575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82967/21575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82967 ÷ 217
    82967 ÷ 131072     		x = 0.632987976074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21575 ÷ 217
    21575 ÷ 131072     		y = 0.164604187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632987976074219 × 2 - 1) × π
    0.265975952148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.83558810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164604187011719 × 2 - 1) × π
    0.670791625976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.10735404419729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83558810} λ = 0.83558810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10735404419729))-π/2
    2×atan(8.22644565059569)-π/2
    2×1.44983063742024-π/2
    2.89966127484049-1.57079632675     		φ = 1.32886495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83558810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.875672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32886495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.138353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82967 KachelY 21575 0.83558810 1.32886495 47.875672 76.138353
    Oben rechts KachelX + 1 82968 KachelY 21575 0.83563603 1.32886495 47.878418 76.138353
    Unten links KachelX 82967 KachelY + 1 21576 0.83558810 1.32885346 47.875672 76.137695
    Unten rechts KachelX + 1 82968 KachelY + 1 21576 0.83563603 1.32885346 47.878418 76.137695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32886495-1.32885346) × R
    1.14900000001139e-05 × 6371000     		dl = 73.2027900007257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32886495-1.32885346) × R
    1.14900000001139e-05 × 6371000     		dr = 73.2027900007257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83558810-0.83563603) × cos(1.32886495) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239578201544468 × 6371000     		do = 73.1580859674128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83558810-0.83563603) × cos(1.32885346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23958935690619 × 6371000     		du = 73.1614923913134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32886495)-sin(1.32885346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239578201544468-0.23958935690619)×R²
    abs(0.83563603-0.83558810)×1.11553617213322e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11553617213322e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11553617213322e-05×40589641000000     		ar = 5355.50068373754m²