Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82967 / 21553
↖ ↑ ↗
← N 76.152822°
E 47.875672°		 ← 73.08 m → N 76.152822°
E 47.878418°		 →
↑
73.08 m
↓
↑
73.08 m
↓
N 76.152165°
E 47.875672°		 ← 73.09 m →
5 341 m²		 N 76.152165°
E 47.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632991790771484 y=0.164440155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632991790771484 × 217)
    floor (0.632991790771484 × 131072)
    floor (82967.5)     		tx = 82967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164440155029297 × 217)
    floor (0.164440155029297 × 131072)
    floor (21553.5)     		ty = 21553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82967 / 21553 ti = "17/82967/21553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82967/21553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82967 ÷ 217
    82967 ÷ 131072     		x = 0.632987976074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21553 ÷ 217
    21553 ÷ 131072     		y = 0.164436340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632987976074219 × 2 - 1) × π
    0.265975952148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.83558810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164436340332031 × 2 - 1) × π
    0.671127319335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.10840865598893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83558810} λ = 0.83558810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10840865598893))-π/2
    2×atan(8.23512593354196)-π/2
    2×1.4499569037651-π/2
    2.8999138075302-1.57079632675     		φ = 1.32911748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83558810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.875672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32911748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.152822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82967 KachelY 21553 0.83558810 1.32911748 47.875672 76.152822
    Oben rechts KachelX + 1 82968 KachelY 21553 0.83563603 1.32911748 47.878418 76.152822
    Unten links KachelX 82967 KachelY + 1 21554 0.83558810 1.32910601 47.875672 76.152165
    Unten rechts KachelX + 1 82968 KachelY + 1 21554 0.83563603 1.32910601 47.878418 76.152165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32911748-1.32910601) × R
    1.14700000000134e-05 × 6371000     		dl = 73.0753700000855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32911748-1.32910601) × R
    1.14700000000134e-05 × 6371000     		dr = 73.0753700000855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83558810-0.83563603) × cos(1.32911748) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23933301832143 × 6371000     		do = 73.0832163207039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83558810-0.83563603) × cos(1.32910601) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239344154959269 × 6371000     		du = 73.0866170270417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32911748)-sin(1.32910601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23933301832143-0.239344154959269)×R²
    abs(0.83563603-0.83558810)×1.11366378386935e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11366378386935e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11366378386935e-05×40589641000000     		ar = 5340.70732739974m²