Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82966 / 21454
↖ ↑ ↗
← N 76.217750°
E 47.872925°		 ← 72.76 m → N 76.217750°
E 47.875672°		 →
↑
72.76 m
↓
↑
72.76 m
↓
N 76.217095°
E 47.872925°		 ← 72.77 m →
5 294 m²		 N 76.217095°
E 47.875672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632984161376953 y=0.163684844970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632984161376953 × 217)
    floor (0.632984161376953 × 131072)
    floor (82966.5)     		tx = 82966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163684844970703 × 217)
    floor (0.163684844970703 × 131072)
    floor (21454.5)     		ty = 21454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82966 / 21454 ti = "17/82966/21454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82966/21454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82966 ÷ 217
    82966 ÷ 131072     		x = 0.632980346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21454 ÷ 217
    21454 ÷ 131072     		y = 0.163681030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632980346679688 × 2 - 1) × π
    0.265960693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83554016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163681030273438 × 2 - 1) × π
    0.672637939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11315440905132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83554016} λ = 0.83554016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11315440905132))-π/2
    2×atan(8.27430069099775)-π/2
    2×1.45052350494063-π/2
    2.90104700988126-1.57079632675     		φ = 1.33025068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83554016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.872925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33025068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.217750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82966 KachelY 21454 0.83554016 1.33025068 47.872925 76.217750
    Oben rechts KachelX + 1 82967 KachelY 21454 0.83558810 1.33025068 47.875672 76.217750
    Unten links KachelX 82966 KachelY + 1 21455 0.83554016 1.33023926 47.872925 76.217095
    Unten rechts KachelX + 1 82967 KachelY + 1 21455 0.83558810 1.33023926 47.875672 76.217095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33025068-1.33023926) × R
    1.14200000000952e-05 × 6371000     		dl = 72.7568200006068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33025068-1.33023926) × R
    1.14200000000952e-05 × 6371000     		dr = 72.7568200006068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83554016-0.83558810) × cos(1.33025068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238232598467923 × 6371000     		do = 72.7623676791405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83554016-0.83558810) × cos(1.33023926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238243689649217 × 6371000     		du = 72.7657552113946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33025068)-sin(1.33023926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238232598467923-0.238243689649217)×R²
    abs(0.83558810-0.83554016)×1.10911812935544e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10911812935544e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10911812935544e-05×40589641000000     		ar = 5294.08172106692m²