Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82964 / 21460
↖ ↑ ↗
← N 76.213823°
E 47.867432°		 ← 72.77 m → N 76.213823°
E 47.870178°		 →
↑
72.76 m
↓
↑
72.76 m
↓
N 76.213169°
E 47.867432°		 ← 72.77 m →
5 294 m²		 N 76.213169°
E 47.870178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632968902587891 y=0.163730621337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632968902587891 × 217)
    floor (0.632968902587891 × 131072)
    floor (82964.5)     		tx = 82964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163730621337891 × 217)
    floor (0.163730621337891 × 131072)
    floor (21460.5)     		ty = 21460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82964 / 21460 ti = "17/82964/21460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82964/21460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82964 ÷ 217
    82964 ÷ 131072     		x = 0.632965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21460 ÷ 217
    21460 ÷ 131072     		y = 0.163726806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632965087890625 × 2 - 1) × π
    0.26593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83544429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163726806640625 × 2 - 1) × π
    0.67254638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1128667876536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83544429} λ = 0.83544429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1128667876536))-π/2
    2×atan(8.27192116728522)-π/2
    2×1.45048923975901-π/2
    2.90097847951803-1.57079632675     		φ = 1.33018215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83544429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.867432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33018215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.213823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82964 KachelY 21460 0.83544429 1.33018215 47.867432 76.213823
    Oben rechts KachelX + 1 82965 KachelY 21460 0.83549222 1.33018215 47.870178 76.213823
    Unten links KachelX 82964 KachelY + 1 21461 0.83544429 1.33017073 47.867432 76.213169
    Unten rechts KachelX + 1 82965 KachelY + 1 21461 0.83549222 1.33017073 47.870178 76.213169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33018215-1.33017073) × R
    1.14199999998732e-05 × 6371000     		dl = 72.7568199991921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33018215-1.33017073) × R
    1.14199999998732e-05 × 6371000     		dr = 72.7568199991921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83544429-0.83549222) × cos(1.33018215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23829915480151 × 6371000     		do = 72.7675136575178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83544429-0.83549222) × cos(1.33017073) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238310245796329 × 6371000     		du = 72.7709004262105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33018215)-sin(1.33017073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23829915480151-0.238310245796329)×R²
    abs(0.83549222-0.83544429)×1.10909948191351e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10909948191351e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10909948191351e-05×40589641000000     		ar = 5294.45609845549m²