Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82962 / 21462
↖ ↑ ↗
← N 76.212515°
E 47.861938°		 ← 72.79 m → N 76.212515°
E 47.864685°		 →
↑
72.82 m
↓
↑
72.82 m
↓
N 76.211860°
E 47.861938°		 ← 72.79 m →
5 301 m²		 N 76.211860°
E 47.864685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632953643798828 y=0.163745880126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632953643798828 × 217)
    floor (0.632953643798828 × 131072)
    floor (82962.5)     		tx = 82962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163745880126953 × 217)
    floor (0.163745880126953 × 131072)
    floor (21462.5)     		ty = 21462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82962 / 21462 ti = "17/82962/21462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82962/21462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82962 ÷ 217
    82962 ÷ 131072     		x = 0.632949829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21462 ÷ 217
    21462 ÷ 131072     		y = 0.163742065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632949829101562 × 2 - 1) × π
    0.265899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83534841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163742065429688 × 2 - 1) × π
    0.672515869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11277091385436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83534841} λ = 0.83534841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11277091385436))-π/2
    2×atan(8.27112814479155)-π/2
    2×1.45047781590464-π/2
    2.90095563180928-1.57079632675     		φ = 1.33015931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83534841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.861938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33015931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.212515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82962 KachelY 21462 0.83534841 1.33015931 47.861938 76.212515
    Oben rechts KachelX + 1 82963 KachelY 21462 0.83539635 1.33015931 47.864685 76.212515
    Unten links KachelX 82962 KachelY + 1 21463 0.83534841 1.33014788 47.861938 76.211860
    Unten rechts KachelX + 1 82963 KachelY + 1 21463 0.83539635 1.33014788 47.864685 76.211860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33015931-1.33014788) × R
    1.14300000000345e-05 × 6371000     		dl = 72.8205300002196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33015931-1.33014788) × R
    1.14300000000345e-05 × 6371000     		dr = 72.8205300002196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83534841-0.83539635) × cos(1.33015931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238321336760069 × 6371000     		do = 72.7894706376854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83534841-0.83539635) × cos(1.33014788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238332437404564 × 6371000     		du = 72.7928610602448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33015931)-sin(1.33014788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238321336760069-0.238332437404564)×R²
    abs(0.83539635-0.83534841)×1.11006444950545e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11006444950545e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11006444950545e-05×40589641000000     		ar = 5300.69127654437m²