Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82961 / 21461
↖ ↑ ↗
← N 76.213169°
E 47.859192°		 ← 72.77 m → N 76.213169°
E 47.861938°		 →
↑
72.76 m
↓
↑
72.76 m
↓
N 76.212515°
E 47.859192°		 ← 72.77 m →
5 295 m²		 N 76.212515°
E 47.861938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632946014404297 y=0.163738250732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632946014404297 × 217)
    floor (0.632946014404297 × 131072)
    floor (82961.5)     		tx = 82961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163738250732422 × 217)
    floor (0.163738250732422 × 131072)
    floor (21461.5)     		ty = 21461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82961 / 21461 ti = "17/82961/21461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82961/21461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82961 ÷ 217
    82961 ÷ 131072     		x = 0.632942199707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21461 ÷ 217
    21461 ÷ 131072     		y = 0.163734436035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632942199707031 × 2 - 1) × π
    0.265884399414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.83530048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163734436035156 × 2 - 1) × π
    0.672531127929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.11281885075398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83530048} λ = 0.83530048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11281885075398))-π/2
    2×atan(8.27152464653463)-π/2
    2×1.45048352796479-π/2
    2.90096705592958-1.57079632675     		φ = 1.33017073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83530048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.859192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33017073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.213169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82961 KachelY 21461 0.83530048 1.33017073 47.859192 76.213169
    Oben rechts KachelX + 1 82962 KachelY 21461 0.83534841 1.33017073 47.861938 76.213169
    Unten links KachelX 82961 KachelY + 1 21462 0.83530048 1.33015931 47.859192 76.212515
    Unten rechts KachelX + 1 82962 KachelY + 1 21462 0.83534841 1.33015931 47.861938 76.212515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33017073-1.33015931) × R
    1.14200000000952e-05 × 6371000     		dl = 72.7568200006068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33017073-1.33015931) × R
    1.14200000000952e-05 × 6371000     		dr = 72.7568200006068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83530048-0.83534841) × cos(1.33017073) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238310245796329 × 6371000     		do = 72.7709004262105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83530048-0.83534841) × cos(1.33015931) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238321336760069 × 6371000     		du = 72.7742871854127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33017073)-sin(1.33015931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238310245796329-0.238321336760069)×R²
    abs(0.83534841-0.83530048)×1.10909637397738e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10909637397738e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10909637397738e-05×40589641000000     		ar = 5294.70250847907m²