Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8296 / 25000
↖ ↑ ↗
← N 39.198205°
W134.428711°		 ← 473.39 m → N 39.198205°
W134.423218°		 →
↑
473.37 m
↓
↑
473.37 m
↓
N 39.193948°
W134.428711°		 ← 473.42 m →
224 092 m²		 N 39.193948°
W134.423218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126594543457031 y=0.381477355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126594543457031 × 216)
    floor (0.126594543457031 × 65536)
    floor (8296.5)     		tx = 8296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381477355957031 × 216)
    floor (0.381477355957031 × 65536)
    floor (25000.5)     		ty = 25000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8296 / 25000 ti = "16/8296/25000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8296/25000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8296 ÷ 216
    8296 ÷ 65536     		x = 0.1265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25000 ÷ 216
    25000 ÷ 65536     		y = 0.3814697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34622362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3814697265625 × 2 - 1) × π
    0.237060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.744747672497192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34622362} λ = -2.34622362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744747672497192))-π/2
    2×atan(2.10590998892568)-π/2
    2×1.12746703549473-π/2
    2.25493407098947-1.57079632675     		φ = 0.68413774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34622362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.428711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68413774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.198205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8296 KachelY 25000 -2.34622362 0.68413774 -134.428711 39.198205
    Oben rechts KachelX + 1 8297 KachelY 25000 -2.34612774 0.68413774 -134.423218 39.198205
    Unten links KachelX 8296 KachelY + 1 25001 -2.34622362 0.68406344 -134.428711 39.193948
    Unten rechts KachelX + 1 8297 KachelY + 1 25001 -2.34612774 0.68406344 -134.423218 39.193948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68413774-0.68406344) × R
    7.43000000000826e-05 × 6371000     		dl = 473.365300000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68413774-0.68406344) × R
    7.43000000000826e-05 × 6371000     		dr = 473.365300000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34622362--2.34612774) × cos(0.68413774) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.774964287767965 × 6371000     		do = 473.388082129897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34622362--2.34612774) × cos(0.68406344) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.77501124360225 × 6371000     		du = 473.416765170765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68413774)-sin(0.68406344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774964287767965-0.77501124360225)×R²
    abs(-2.34612774--2.34622362)×4.69558342852672e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.69558342852672e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.69558342852672e-05×40589641000000     		ar = 224092.280395419m²