Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82954 / 21506
↖ ↑ ↗
← N 76.183684°
E 47.839966°		 ← 72.92 m → N 76.183684°
E 47.842712°		 →
↑
72.95 m
↓
↑
72.95 m
↓
N 76.183028°
E 47.839966°		 ← 72.93 m →
5 320 m²		 N 76.183028°
E 47.842712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632892608642578 y=0.164081573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632892608642578 × 217)
    floor (0.632892608642578 × 131072)
    floor (82954.5)     		tx = 82954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164081573486328 × 217)
    floor (0.164081573486328 × 131072)
    floor (21506.5)     		ty = 21506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82954 / 21506 ti = "17/82954/21506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82954/21506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82954 ÷ 217
    82954 ÷ 131072     		x = 0.632888793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21506 ÷ 217
    21506 ÷ 131072     		y = 0.164077758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632888793945312 × 2 - 1) × π
    0.265777587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83496492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164077758789062 × 2 - 1) × π
    0.671844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11066169027107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83496492} λ = 0.83496492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11066169027107))-π/2
    2×atan(8.25370087171679)-π/2
    2×1.45022622181731-π/2
    2.90045244363463-1.57079632675     		φ = 1.32965612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83496492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.839966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32965612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.183684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82954 KachelY 21506 0.83496492 1.32965612 47.839966 76.183684
    Oben rechts KachelX + 1 82955 KachelY 21506 0.83501285 1.32965612 47.842712 76.183684
    Unten links KachelX 82954 KachelY + 1 21507 0.83496492 1.32964467 47.839966 76.183028
    Unten rechts KachelX + 1 82955 KachelY + 1 21507 0.83501285 1.32964467 47.842712 76.183028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32965612-1.32964467) × R
    1.1450000000135e-05 × 6371000     		dl = 72.9479500008598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32965612-1.32964467) × R
    1.1450000000135e-05 × 6371000     		dr = 72.9479500008598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83496492-0.83501285) × cos(1.32965612) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238809997831032 × 6371000     		do = 72.9235057220242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83496492-0.83501285) × cos(1.32964467) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238821116524666 × 6371000     		du = 72.9269009488831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32965612)-sin(1.32964467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238809997831032-0.238821116524666)×R²
    abs(0.83501285-0.83496492)×1.11186936335439e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11186936335439e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11186936335439e-05×40589641000000     		ar = 5319.74408690367m²