Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8295 / 24999
↖ ↑ ↗
← N 39.202462°
W134.434204°		 ← 473.31 m → N 39.202462°
W134.428711°		 →
↑
473.37 m
↓
↑
473.37 m
↓
N 39.198205°
W134.434204°		 ← 473.34 m →
224 055 m²		 N 39.198205°
W134.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126579284667969 y=0.381462097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126579284667969 × 216)
    floor (0.126579284667969 × 65536)
    floor (8295.5)     		tx = 8295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381462097167969 × 216)
    floor (0.381462097167969 × 65536)
    floor (24999.5)     		ty = 24999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8295 / 24999 ti = "16/8295/24999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8295/24999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8295 ÷ 216
    8295 ÷ 65536     		x = 0.126571655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24999 ÷ 216
    24999 ÷ 65536     		y = 0.381454467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126571655273438 × 2 - 1) × π
    -0.746856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34631949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381454467773438 × 2 - 1) × π
    0.237091064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.744843546296432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34631949} λ = -2.34631949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744843546296432))-π/2
    2×atan(2.10611190019602)-π/2
    2×1.12750418375438-π/2
    2.25500836750875-1.57079632675     		φ = 0.68421204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34631949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.434204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68421204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.202462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8295 KachelY 24999 -2.34631949 0.68421204 -134.434204 39.202462
    Oben rechts KachelX + 1 8296 KachelY 24999 -2.34622362 0.68421204 -134.428711 39.202462
    Unten links KachelX 8295 KachelY + 1 25000 -2.34631949 0.68413774 -134.434204 39.198205
    Unten rechts KachelX + 1 8296 KachelY + 1 25000 -2.34622362 0.68413774 -134.428711 39.198205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68421204-0.68413774) × R
    7.42999999999716e-05 × 6371000     		dl = 473.365299999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68421204-0.68413774) × R
    7.42999999999716e-05 × 6371000     		dr = 473.365299999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34631949--2.34622362) × cos(0.68421204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774917327655497 × 6371000     		do = 473.31002649305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34631949--2.34622362) × cos(0.68413774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774964287767965 × 6371000     		du = 473.338709155423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68421204)-sin(0.68413774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774917327655497-0.774964287767965)×R²
    abs(-2.34622362--2.34631949)×4.69601124678531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69601124678531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69601124678531e-05×40589641000000     		ar = 224055.331475369m²