Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82945 / 95247
↖ ↑ ↗
← S 62.933985°
E 47.815247°		 ← 138.94 m → S 62.933985°
E 47.817993°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
S 62.935235°
E 47.815247°		 ← 138.94 m →
19 306 m²		 S 62.935235°
E 47.817993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632823944091797 y=0.726680755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632823944091797 × 217)
    floor (0.632823944091797 × 131072)
    floor (82945.5)     		tx = 82945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726680755615234 × 217)
    floor (0.726680755615234 × 131072)
    floor (95247.5)     		ty = 95247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82945 / 95247 ti = "17/82945/95247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82945/95247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82945 ÷ 217
    82945 ÷ 131072     		x = 0.632820129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95247 ÷ 217
    95247 ÷ 131072     		y = 0.726676940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632820129394531 × 2 - 1) × π
    0.265640258789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.83453349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726676940917969 × 2 - 1) × π
    -0.453353881835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.42425322461149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83453349} λ = 0.83453349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42425322461149))-π/2
    2×atan(0.240688136088688)-π/2
    2×0.23619553721715-π/2
    0.472391074434299-1.57079632675     		φ = -1.09840525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83453349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.815247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09840525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.933985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82945 KachelY 95247 0.83453349 -1.09840525 47.815247 -62.933985
    Oben rechts KachelX + 1 82946 KachelY 95247 0.83458142 -1.09840525 47.817993 -62.933985
    Unten links KachelX 82945 KachelY + 1 95248 0.83453349 -1.09842706 47.815247 -62.935235
    Unten rechts KachelX + 1 82946 KachelY + 1 95248 0.83458142 -1.09842706 47.817993 -62.935235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09840525--1.09842706) × R
    2.18099999997889e-05 × 6371000     		dl = 138.951509998655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09840525--1.09842706) × R
    2.18099999997889e-05 × 6371000     		dr = 138.951509998655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83453349-0.83458142) × cos(-1.09840525) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.45501679696165 × 6371000     		do = 138.944852804392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83453349-0.83458142) × cos(-1.09842706) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.454997375422371 × 6371000     		du = 138.938922203732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09840525)-sin(-1.09842706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45501679696165-0.454997375422371)×R²
    abs(0.83458142-0.83453349)×1.94215392791963e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94215392791963e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94215392791963e-05×40589641000000     		ar = 19306.1850714453m²