Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82945 / 95243
↖ ↑ ↗
← S 62.928986°
E 47.815247°		 ← 138.97 m → S 62.928986°
E 47.817993°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
S 62.930236°
E 47.815247°		 ← 138.96 m →
19 309 m²		 S 62.930236°
E 47.817993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632823944091797 y=0.726650238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632823944091797 × 217)
    floor (0.632823944091797 × 131072)
    floor (82945.5)     		tx = 82945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726650238037109 × 217)
    floor (0.726650238037109 × 131072)
    floor (95243.5)     		ty = 95243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82945 / 95243 ti = "17/82945/95243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82945/95243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82945 ÷ 217
    82945 ÷ 131072     		x = 0.632820129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95243 ÷ 217
    95243 ÷ 131072     		y = 0.726646423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632820129394531 × 2 - 1) × π
    0.265640258789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.83453349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726646423339844 × 2 - 1) × π
    -0.453292846679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.42406147701301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83453349} λ = 0.83453349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42406147701301))-π/2
    2×atan(0.240734291885755)-π/2
    2×0.236239165130518-π/2
    0.472478330261036-1.57079632675     		φ = -1.09831800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83453349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.815247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09831800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.928986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82945 KachelY 95243 0.83453349 -1.09831800 47.815247 -62.928986
    Oben rechts KachelX + 1 82946 KachelY 95243 0.83458142 -1.09831800 47.817993 -62.928986
    Unten links KachelX 82945 KachelY + 1 95244 0.83453349 -1.09833981 47.815247 -62.930236
    Unten rechts KachelX + 1 82946 KachelY + 1 95244 0.83458142 -1.09833981 47.817993 -62.930236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09831800--1.09833981) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09831800--1.09833981) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83453349-0.83458142) × cos(-1.09831800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455094489858701 × 6371000     		do = 138.968577265152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83453349-0.83458142) × cos(-1.09833981) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455075069185339 × 6371000     		du = 138.962646928911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09831800)-sin(-1.09833981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455094489858701-0.455075069185339)×R²
    abs(0.83458142-0.83453349)×1.94206733622471e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94206733622471e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94206733622471e-05×40589641000000     		ar = 19309.4816397166m²