Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82943 / 95237
↖ ↑ ↗
← S 62.921485°
E 47.809753°		 ← 139.03 m → S 62.921485°
E 47.812500°		 →
↑
139.08 m
↓
↑
139.08 m
↓
S 62.922736°
E 47.809753°		 ← 139.03 m →
19 336 m²		 S 62.922736°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632808685302734 y=0.726604461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632808685302734 × 217)
    floor (0.632808685302734 × 131072)
    floor (82943.5)     		tx = 82943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726604461669922 × 217)
    floor (0.726604461669922 × 131072)
    floor (95237.5)     		ty = 95237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82943 / 95237 ti = "17/82943/95237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82943/95237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82943 ÷ 217
    82943 ÷ 131072     		x = 0.632804870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95237 ÷ 217
    95237 ÷ 131072     		y = 0.726600646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632804870605469 × 2 - 1) × π
    0.265609741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.83443761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726600646972656 × 2 - 1) × π
    -0.453201293945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.42377385561529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83443761} λ = 0.83443761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42377385561529))-π/2
    2×atan(0.240803542177722)-π/2
    2×0.236304620969015-π/2
    0.47260924193803-1.57079632675     		φ = -1.09818708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83443761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.809753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09818708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.921485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82943 KachelY 95237 0.83443761 -1.09818708 47.809753 -62.921485
    Oben rechts KachelX + 1 82944 KachelY 95237 0.83448555 -1.09818708 47.812500 -62.921485
    Unten links KachelX 82943 KachelY + 1 95238 0.83443761 -1.09820891 47.809753 -62.922736
    Unten rechts KachelX + 1 82944 KachelY + 1 95238 0.83448555 -1.09820891 47.812500 -62.922736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09818708--1.09820891) × R
    2.18300000001115e-05 × 6371000     		dl = 139.07893000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09818708--1.09820891) × R
    2.18300000001115e-05 × 6371000     		dr = 139.07893000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83443761-0.83448555) × cos(-1.09818708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455211062775537 × 6371000     		do = 139.033175704314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83443761-0.83448555) × cos(-1.09820891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455191625593904 × 6371000     		du = 139.02723908873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09818708)-sin(-1.09820891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455211062775537-0.455191625593904)×R²
    abs(0.83448555-0.83443761)×1.94371816326089e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94371816326089e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94371816326089e-05×40589641000000     		ar = 19336.1724830835m²