Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82941 / 95241
↖ ↑ ↗
← S 62.926486°
E 47.804260°		 ← 138.98 m → S 62.926486°
E 47.807007°		 →
↑
139.02 m
↓
↑
139.02 m
↓
S 62.927736°
E 47.804260°		 ← 138.97 m →
19 320 m²		 S 62.927736°
E 47.807007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632793426513672 y=0.726634979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632793426513672 × 217)
    floor (0.632793426513672 × 131072)
    floor (82941.5)     		tx = 82941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726634979248047 × 217)
    floor (0.726634979248047 × 131072)
    floor (95241.5)     		ty = 95241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82941 / 95241 ti = "17/82941/95241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82941/95241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82941 ÷ 217
    82941 ÷ 131072     		x = 0.632789611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95241 ÷ 217
    95241 ÷ 131072     		y = 0.726631164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632789611816406 × 2 - 1) × π
    0.265579223632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.83434174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726631164550781 × 2 - 1) × π
    -0.453262329101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.42396560321377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83434174} λ = 0.83434174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42396560321377))-π/2
    2×atan(0.24075737310335)-π/2
    2×0.236260981880773-π/2
    0.472521963761547-1.57079632675     		φ = -1.09827436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83434174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.804260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09827436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.926486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82941 KachelY 95241 0.83434174 -1.09827436 47.804260 -62.926486
    Oben rechts KachelX + 1 82942 KachelY 95241 0.83438967 -1.09827436 47.807007 -62.926486
    Unten links KachelX 82941 KachelY + 1 95242 0.83434174 -1.09829618 47.804260 -62.927736
    Unten rechts KachelX + 1 82942 KachelY + 1 95242 0.83438967 -1.09829618 47.807007 -62.927736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09827436--1.09829618) × R
    2.18199999999502e-05 × 6371000     		dl = 139.015219999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09827436--1.09829618) × R
    2.18199999999502e-05 × 6371000     		dr = 139.015219999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83434174-0.83438967) × cos(-1.09827436) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.455133348364449 × 6371000     		do = 138.980443177029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83434174-0.83438967) × cos(-1.09829618) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.455113919219918 × 6371000     		du = 138.974510254013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09827436)-sin(-1.09829618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455133348364449-0.455113919219918)×R²
    abs(0.83438967-0.83434174)×1.94291445315131e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.94291445315131e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.94291445315131e-05×40589641000000     		ar = 19319.9845014185m²