Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82941 / 95239
↖ ↑ ↗
← S 62.923986°
E 47.804260°		 ← 138.99 m → S 62.923986°
E 47.807007°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
S 62.925235°
E 47.804260°		 ← 138.99 m →
19 313 m²		 S 62.925235°
E 47.807007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632793426513672 y=0.726619720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632793426513672 × 217)
    floor (0.632793426513672 × 131072)
    floor (82941.5)     		tx = 82941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726619720458984 × 217)
    floor (0.726619720458984 × 131072)
    floor (95239.5)     		ty = 95239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82941 / 95239 ti = "17/82941/95239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82941/95239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82941 ÷ 217
    82941 ÷ 131072     		x = 0.632789611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95239 ÷ 217
    95239 ÷ 131072     		y = 0.726615905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632789611816406 × 2 - 1) × π
    0.265579223632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.83434174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726615905761719 × 2 - 1) × π
    -0.453231811523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.42386972941453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83434174} λ = 0.83434174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42386972941453))-π/2
    2×atan(0.240780456533935)-π/2
    2×0.236282800493567-π/2
    0.472565600987133-1.57079632675     		φ = -1.09823073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83434174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.804260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09823073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.923986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82941 KachelY 95239 0.83434174 -1.09823073 47.804260 -62.923986
    Oben rechts KachelX + 1 82942 KachelY 95239 0.83438967 -1.09823073 47.807007 -62.923986
    Unten links KachelX 82941 KachelY + 1 95240 0.83434174 -1.09825254 47.804260 -62.925235
    Unten rechts KachelX + 1 82942 KachelY + 1 95240 0.83438967 -1.09825254 47.807007 -62.925235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09823073--1.09825254) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09823073--1.09825254) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83434174-0.83438967) × cos(-1.09823073) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.455172197099385 × 6371000     		do = 138.992306105591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83434174-0.83438967) × cos(-1.09825254) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.455152777292286 × 6371000     		du = 138.986376033874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09823073)-sin(-1.09825254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455172197099385-0.455152777292286)×R²
    abs(0.83438967-0.83434174)×1.94198070986862e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.94198070986862e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.94198070986862e-05×40589641000000     		ar = 19312.7788163859m²