Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82940 / 95240
↖ ↑ ↗
← S 62.925235°
E 47.801514°		 ← 139.02 m → S 62.925235°
E 47.804260°		 →
↑
139.02 m
↓
↑
139.02 m
↓
S 62.926486°
E 47.801514°		 ← 139.01 m →
19 325 m²		 S 62.926486°
E 47.804260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632785797119141 y=0.726627349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632785797119141 × 217)
    floor (0.632785797119141 × 131072)
    floor (82940.5)     		tx = 82940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726627349853516 × 217)
    floor (0.726627349853516 × 131072)
    floor (95240.5)     		ty = 95240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82940 / 95240 ti = "17/82940/95240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82940/95240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82940 ÷ 217
    82940 ÷ 131072     		x = 0.632781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95240 ÷ 217
    95240 ÷ 131072     		y = 0.72662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632781982421875 × 2 - 1) × π
    0.26556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83429380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.4532470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42391766631415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83429380} λ = 0.83429380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42391766631415))-π/2
    2×atan(0.240768914542006)-π/2
    2×0.236271890954345-π/2
    0.472543781908691-1.57079632675     		φ = -1.09825254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83429380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09825254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.925235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82940 KachelY 95240 0.83429380 -1.09825254 47.801514 -62.925235
    Oben rechts KachelX + 1 82941 KachelY 95240 0.83434174 -1.09825254 47.804260 -62.925235
    Unten links KachelX 82940 KachelY + 1 95241 0.83429380 -1.09827436 47.801514 -62.926486
    Unten rechts KachelX + 1 82941 KachelY + 1 95241 0.83434174 -1.09827436 47.804260 -62.926486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09825254--1.09827436) × R
    2.18199999999502e-05 × 6371000     		dl = 139.015219999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09825254--1.09827436) × R
    2.18199999999502e-05 × 6371000     		dr = 139.015219999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83429380-0.83434174) × cos(-1.09825254) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.455152777292286 × 6371000     		do = 139.015373817782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83429380-0.83434174) × cos(-1.09827436) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.455133348364449 × 6371000     		du = 139.00943972312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09825254)-sin(-1.09827436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455152777292286-0.455133348364449)×R²
    abs(0.83434174-0.83429380)×1.94289278368509e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94289278368509e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94289278368509e-05×40589641000000     		ar = 19324.8403106486m²