Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82940 / 95220
↖ ↑ ↗
← S 62.900223°
E 47.801514°		 ← 139.13 m → S 62.900223°
E 47.804260°		 →
↑
139.08 m
↓
↑
139.08 m
↓
S 62.901474°
E 47.801514°		 ← 139.13 m →
19 350 m²		 S 62.901474°
E 47.804260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632785797119141 y=0.726474761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632785797119141 × 217)
    floor (0.632785797119141 × 131072)
    floor (82940.5)     		tx = 82940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726474761962891 × 217)
    floor (0.726474761962891 × 131072)
    floor (95220.5)     		ty = 95220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82940 / 95220 ti = "17/82940/95220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82940/95220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82940 ÷ 217
    82940 ÷ 131072     		x = 0.632781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95220 ÷ 217
    95220 ÷ 131072     		y = 0.726470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632781982421875 × 2 - 1) × π
    0.26556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83429380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.45294189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42295892832175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83429380} λ = 0.83429380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42295892832175))-π/2
    2×atan(0.240999859537947)-π/2
    2×0.236490170231619-π/2
    0.472980340463238-1.57079632675     		φ = -1.09781599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83429380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09781599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.900223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82940 KachelY 95220 0.83429380 -1.09781599 47.801514 -62.900223
    Oben rechts KachelX + 1 82941 KachelY 95220 0.83434174 -1.09781599 47.804260 -62.900223
    Unten links KachelX 82940 KachelY + 1 95221 0.83429380 -1.09783782 47.801514 -62.901474
    Unten rechts KachelX + 1 82941 KachelY + 1 95221 0.83434174 -1.09783782 47.804260 -62.901474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09781599--1.09783782) × R
    2.18300000001115e-05 × 6371000     		dl = 139.07893000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09781599--1.09783782) × R
    2.18300000001115e-05 × 6371000     		dr = 139.07893000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83429380-0.83434174) × cos(-1.09781599) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.455541443861098 × 6371000     		do = 139.134082592175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83429380-0.83434174) × cos(-1.09783782) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.455522010368342 × 6371000     		du = 139.12814710327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09781599)-sin(-1.09783782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455541443861098-0.455522010368342)×R²
    abs(0.83434174-0.83429380)×1.94334927561823e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94334927561823e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94334927561823e-05×40589641000000     		ar = 19350.2065836092m²