Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8294 / 24990
↖ ↑ ↗
← N 39.240763°
W134.439697°		 ← 473.05 m → N 39.240763°
W134.434204°		 →
↑
473.11 m
↓
↑
473.11 m
↓
N 39.236508°
W134.439697°		 ← 473.08 m →
223 813 m²		 N 39.236508°
W134.434204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126564025878906 y=0.381324768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126564025878906 × 216)
    floor (0.126564025878906 × 65536)
    floor (8294.5)     		tx = 8294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381324768066406 × 216)
    floor (0.381324768066406 × 65536)
    floor (24990.5)     		ty = 24990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8294 / 24990 ti = "16/8294/24990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8294/24990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8294 ÷ 216
    8294 ÷ 65536     		x = 0.126556396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24990 ÷ 216
    24990 ÷ 65536     		y = 0.381317138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.74688720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34641536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381317138671875 × 2 - 1) × π
    0.23736572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.745706410489594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34641536} λ = -2.34641536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.745706410489594))-π/2
    2×atan(2.10792997300365)-π/2
    2×1.12783841678564-π/2
    2.25567683357127-1.57079632675     		φ = 0.68488051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34641536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.439697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68488051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.240763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8294 KachelY 24990 -2.34641536 0.68488051 -134.439697 39.240763
    Oben rechts KachelX + 1 8295 KachelY 24990 -2.34631949 0.68488051 -134.434204 39.240763
    Unten links KachelX 8294 KachelY + 1 24991 -2.34641536 0.68480625 -134.439697 39.236508
    Unten rechts KachelX + 1 8295 KachelY + 1 24991 -2.34631949 0.68480625 -134.434204 39.236508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68488051-0.68480625) × R
    7.42600000001037e-05 × 6371000     		dl = 473.110460000661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68488051-0.68480625) × R
    7.42600000001037e-05 × 6371000     		dr = 473.110460000661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34641536--2.34631949) × cos(0.68488051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774494639661382 × 6371000     		do = 473.051853835718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34641536--2.34631949) × cos(0.68480625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774541612951671 × 6371000     		du = 473.080544546944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68488051)-sin(0.68480625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774494639661382-0.774541612951671)×R²
    abs(-2.34631949--2.34641536)×4.69732902891318e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69732902891318e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69732902891318e-05×40589641000000     		ar = 223812.567213018m²