Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82938 / 21525
↖ ↑ ↗
← N 76.171216°
E 47.796021°		 ← 72.99 m → N 76.171216°
E 47.798767°		 →
↑
73.01 m
↓
↑
73.01 m
↓
N 76.170559°
E 47.796021°		 ← 72.99 m →
5 329 m²		 N 76.170559°
E 47.798767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632770538330078 y=0.164226531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632770538330078 × 217)
    floor (0.632770538330078 × 131072)
    floor (82938.5)     		tx = 82938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164226531982422 × 217)
    floor (0.164226531982422 × 131072)
    floor (21525.5)     		ty = 21525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82938 / 21525 ti = "17/82938/21525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82938/21525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82938 ÷ 217
    82938 ÷ 131072     		x = 0.632766723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21525 ÷ 217
    21525 ÷ 131072     		y = 0.164222717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632766723632812 × 2 - 1) × π
    0.265533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83419793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164222717285156 × 2 - 1) × π
    0.671554565429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.10975088917829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83419793} λ = 0.83419793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10975088917829))-π/2
    2×atan(8.24618681436861)-π/2
    2×1.45011741950536-π/2
    2.90023483901073-1.57079632675     		φ = 1.32943851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83419793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.796021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32943851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.171216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82938 KachelY 21525 0.83419793 1.32943851 47.796021 76.171216
    Oben rechts KachelX + 1 82939 KachelY 21525 0.83424586 1.32943851 47.798767 76.171216
    Unten links KachelX 82938 KachelY + 1 21526 0.83419793 1.32942705 47.796021 76.170559
    Unten rechts KachelX + 1 82939 KachelY + 1 21526 0.83424586 1.32942705 47.798767 76.170559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32943851-1.32942705) × R
    1.14599999998521e-05 × 6371000     		dl = 73.011659999058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32943851-1.32942705) × R
    1.14599999998521e-05 × 6371000     		dr = 73.011659999058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83419793-0.83424586) × cos(1.32943851) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239021305915497 × 6371000     		do = 72.9880311876517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83419793-0.83424586) × cos(1.32942705) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239032433723941 × 6371000     		du = 72.9914291978278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32943851)-sin(1.32942705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239021305915497-0.239032433723941)×R²
    abs(0.83424586-0.83419793)×1.11278084447552e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11278084447552e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11278084447552e-05×40589641000000     		ar = 5329.1013641428m²