Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82937 / 21527
↖ ↑ ↗
← N 76.169903°
E 47.793274°		 ← 73.01 m → N 76.169903°
E 47.796021°		 →
↑
73.01 m
↓
↑
73.01 m
↓
N 76.169246°
E 47.793274°		 ← 73.01 m →
5 331 m²		 N 76.169246°
E 47.796021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632762908935547 y=0.164241790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632762908935547 × 217)
    floor (0.632762908935547 × 131072)
    floor (82937.5)     		tx = 82937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164241790771484 × 217)
    floor (0.164241790771484 × 131072)
    floor (21527.5)     		ty = 21527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82937 / 21527 ti = "17/82937/21527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82937/21527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82937 ÷ 217
    82937 ÷ 131072     		x = 0.632759094238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21527 ÷ 217
    21527 ÷ 131072     		y = 0.164237976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632759094238281 × 2 - 1) × π
    0.265518188476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.83414999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164237976074219 × 2 - 1) × π
    0.671524047851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.10965501537905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83414999} λ = 0.83414999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10965501537905))-π/2
    2×atan(8.24539625900685)-π/2
    2×1.45010596103177-π/2
    2.90021192206353-1.57079632675     		φ = 1.32941560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83414999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.793274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32941560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.169903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82937 KachelY 21527 0.83414999 1.32941560 47.793274 76.169903
    Oben rechts KachelX + 1 82938 KachelY 21527 0.83419793 1.32941560 47.796021 76.169903
    Unten links KachelX 82937 KachelY + 1 21528 0.83414999 1.32940414 47.793274 76.169246
    Unten rechts KachelX + 1 82938 KachelY + 1 21528 0.83419793 1.32940414 47.796021 76.169246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32941560-1.32940414) × R
    1.14599999998521e-05 × 6371000     		dl = 73.011659999058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32941560-1.32940414) × R
    1.14599999998521e-05 × 6371000     		dr = 73.011659999058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83414999-0.83419793) × cos(1.32941560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239043551790905 × 6371000     		do = 73.0100536979177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83414999-0.83419793) × cos(1.32940414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239054679536591 × 6371000     		du = 73.0134523978783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32941560)-sin(1.32940414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239043551790905-0.239054679536591)×R²
    abs(0.83419793-0.83414999)×1.11277456856795e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11277456856795e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11277456856795e-05×40589641000000     		ar = 5330.70928941796m²