Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82937 / 16483
↖ ↑ ↗
← N 79.120130°
E 47.793274°		 ← 57.65 m → N 79.120130°
E 47.796021°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.119612°
E 47.793274°		 ← 57.65 m →
3 320 m²		 N 79.119612°
E 47.796021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632762908935547 y=0.125759124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632762908935547 × 217)
    floor (0.632762908935547 × 131072)
    floor (82937.5)     		tx = 82937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125759124755859 × 217)
    floor (0.125759124755859 × 131072)
    floor (16483.5)     		ty = 16483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82937 / 16483 ti = "17/82937/16483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82937/16483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82937 ÷ 217
    82937 ÷ 131072     		x = 0.632759094238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16483 ÷ 217
    16483 ÷ 131072     		y = 0.125755310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632759094238281 × 2 - 1) × π
    0.265518188476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.83414999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125755310058594 × 2 - 1) × π
    0.748489379882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.35144873706261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83414999} λ = 0.83414999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35144873706261))-π/2
    2×atan(10.5007715672879)-π/2
    2×1.47585155538342-π/2
    2.95170311076684-1.57079632675     		φ = 1.38090678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83414999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.793274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38090678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.120130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82937 KachelY 16483 0.83414999 1.38090678 47.793274 79.120130
    Oben rechts KachelX + 1 82938 KachelY 16483 0.83419793 1.38090678 47.796021 79.120130
    Unten links KachelX 82937 KachelY + 1 16484 0.83414999 1.38089774 47.793274 79.119612
    Unten rechts KachelX + 1 82938 KachelY + 1 16484 0.83419793 1.38089774 47.796021 79.119612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38090678-1.38089774) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dl = 57.5938399993927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38090678-1.38089774) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dr = 57.5938399993927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83414999-0.83419793) × cos(1.38090678) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188750428309497 × 6371000     		do = 57.6492392417071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83414999-0.83419793) × cos(1.38089774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18875930580859 × 6371000     		du = 57.6519506584372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38090678)-sin(1.38089774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188750428309497-0.18875930580859)×R²
    abs(0.83419793-0.83414999)×8.87749909364577e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.87749909364577e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.87749909364577e-06×40589641000000     		ar = 3320.31914145004m²