Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82935 / 95229
↖ ↑ ↗
← S 62.911481°
E 47.787781°		 ← 139.05 m → S 62.911481°
E 47.790527°		 →
↑
139.08 m
↓
↑
139.08 m
↓
S 62.912732°
E 47.787781°		 ← 139.05 m →
19 339 m²		 S 62.912732°
E 47.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632747650146484 y=0.726543426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632747650146484 × 217)
    floor (0.632747650146484 × 131072)
    floor (82935.5)     		tx = 82935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726543426513672 × 217)
    floor (0.726543426513672 × 131072)
    floor (95229.5)     		ty = 95229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82935 / 95229 ti = "17/82935/95229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82935/95229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82935 ÷ 217
    82935 ÷ 131072     		x = 0.632743835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95229 ÷ 217
    95229 ÷ 131072     		y = 0.726539611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632743835449219 × 2 - 1) × π
    0.265487670898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.83405412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726539611816406 × 2 - 1) × π
    -0.453079223632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.42339036041833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83405412} λ = 0.83405412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42339036041833))-π/2
    2×atan(0.240895906889138)-π/2
    2×0.236391921499707-π/2
    0.472783842999415-1.57079632675     		φ = -1.09801248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83405412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.787781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09801248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.911481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82935 KachelY 95229 0.83405412 -1.09801248 47.787781 -62.911481
    Oben rechts KachelX + 1 82936 KachelY 95229 0.83410205 -1.09801248 47.790527 -62.911481
    Unten links KachelX 82935 KachelY + 1 95230 0.83405412 -1.09803431 47.787781 -62.912732
    Unten rechts KachelX + 1 82936 KachelY + 1 95230 0.83410205 -1.09803431 47.790527 -62.912732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09801248--1.09803431) × R
    2.18300000001115e-05 × 6371000     		dl = 139.07893000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09801248--1.09803431) × R
    2.18300000001115e-05 × 6371000     		dr = 139.07893000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83405412-0.83410205) × cos(-1.09801248) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455366516806164 × 6371000     		do = 139.051643966044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83405412-0.83410205) × cos(-1.09803431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455347081359836 × 6371000     		du = 139.0457091187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09801248)-sin(-1.09803431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455366516806164-0.455347081359836)×R²
    abs(0.83410205-0.83405412)×1.94354463281532e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94354463281532e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94354463281532e-05×40589641000000     		ar = 19338.7411523174m²