Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82935 / 21527
↖ ↑ ↗
← N 76.169903°
E 47.787781°		 ← 72.99 m → N 76.169903°
E 47.790527°		 →
↑
73.01 m
↓
↑
73.01 m
↓
N 76.169246°
E 47.787781°		 ← 73 m →
5 330 m²		 N 76.169246°
E 47.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632747650146484 y=0.164241790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632747650146484 × 217)
    floor (0.632747650146484 × 131072)
    floor (82935.5)     		tx = 82935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164241790771484 × 217)
    floor (0.164241790771484 × 131072)
    floor (21527.5)     		ty = 21527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82935 / 21527 ti = "17/82935/21527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82935/21527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82935 ÷ 217
    82935 ÷ 131072     		x = 0.632743835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21527 ÷ 217
    21527 ÷ 131072     		y = 0.164237976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632743835449219 × 2 - 1) × π
    0.265487670898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.83405412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164237976074219 × 2 - 1) × π
    0.671524047851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.10965501537905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83405412} λ = 0.83405412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10965501537905))-π/2
    2×atan(8.24539625900685)-π/2
    2×1.45010596103177-π/2
    2.90021192206353-1.57079632675     		φ = 1.32941560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83405412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.787781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32941560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.169903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82935 KachelY 21527 0.83405412 1.32941560 47.787781 76.169903
    Oben rechts KachelX + 1 82936 KachelY 21527 0.83410205 1.32941560 47.790527 76.169903
    Unten links KachelX 82935 KachelY + 1 21528 0.83405412 1.32940414 47.787781 76.169246
    Unten rechts KachelX + 1 82936 KachelY + 1 21528 0.83410205 1.32940414 47.790527 76.169246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32941560-1.32940414) × R
    1.14599999998521e-05 × 6371000     		dl = 73.011659999058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32941560-1.32940414) × R
    1.14599999998521e-05 × 6371000     		dr = 73.011659999058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83405412-0.83410205) × cos(1.32941560) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239043551790905 × 6371000     		do = 72.9948242333257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83405412-0.83410205) × cos(1.32940414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239054679536591 × 6371000     		du = 72.9982222243376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32941560)-sin(1.32940414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239043551790905-0.239054679536591)×R²
    abs(0.83410205-0.83405412)×1.11277456856795e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11277456856795e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11277456856795e-05×40589641000000     		ar = 5329.59733504645m²