Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82935 / 20202
↖ ↑ ↗
← N 77.013521°
E 47.787781°		 ← 68.62 m → N 77.013521°
E 47.790527°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 77.012903°
E 47.787781°		 ← 68.62 m →
4 713 m²		 N 77.012903°
E 47.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632747650146484 y=0.154132843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632747650146484 × 217)
    floor (0.632747650146484 × 131072)
    floor (82935.5)     		tx = 82935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154132843017578 × 217)
    floor (0.154132843017578 × 131072)
    floor (20202.5)     		ty = 20202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82935 / 20202 ti = "17/82935/20202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82935/20202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82935 ÷ 217
    82935 ÷ 131072     		x = 0.632743835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20202 ÷ 217
    20202 ÷ 131072     		y = 0.154129028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632743835449219 × 2 - 1) × π
    0.265487670898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.83405412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154129028320312 × 2 - 1) × π
    0.691741943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17317140737563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83405412} λ = 0.83405412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17317140737563))-π/2
    2×atan(8.78610421858653)-π/2
    2×1.45746791688068-π/2
    2.91493583376136-1.57079632675     		φ = 1.34413951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83405412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.787781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34413951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.013521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82935 KachelY 20202 0.83405412 1.34413951 47.787781 77.013521
    Oben rechts KachelX + 1 82936 KachelY 20202 0.83410205 1.34413951 47.790527 77.013521
    Unten links KachelX 82935 KachelY + 1 20203 0.83405412 1.34412873 47.787781 77.012903
    Unten rechts KachelX + 1 82936 KachelY + 1 20203 0.83410205 1.34412873 47.790527 77.012903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34413951-1.34412873) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34413951-1.34412873) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83405412-0.83410205) × cos(1.34413951) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224721110422919 × 6371000     		do = 68.6212944626388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83405412-0.83410205) × cos(1.34412873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224731614691127 × 6371000     		du = 68.6245020673025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34413951)-sin(1.34412873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224721110422919-0.224731614691127)×R²
    abs(0.83410205-0.83405412)×1.05042682078949e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05042682078949e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05042682078949e-05×40589641000000     		ar = 4712.97810681161m²