Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82932 / 95244
↖ ↑ ↗
← S 62.930236°
E 47.779541°		 ← 138.96 m → S 62.930236°
E 47.782287°		 →
↑
139.02 m
↓
↑
139.02 m
↓
S 62.931486°
E 47.779541°		 ← 138.96 m →
19 318 m²		 S 62.931486°
E 47.782287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632724761962891 y=0.726657867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632724761962891 × 217)
    floor (0.632724761962891 × 131072)
    floor (82932.5)     		tx = 82932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726657867431641 × 217)
    floor (0.726657867431641 × 131072)
    floor (95244.5)     		ty = 95244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82932 / 95244 ti = "17/82932/95244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82932/95244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82932 ÷ 217
    82932 ÷ 131072     		x = 0.632720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95244 ÷ 217
    95244 ÷ 131072     		y = 0.726654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632720947265625 × 2 - 1) × π
    0.26544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83391031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.45330810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42410941391263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83391031} λ = 0.83391031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42410941391263))-π/2
    2×atan(0.240722752106763)-π/2
    2×0.236228257453805-π/2
    0.47245651490761-1.57079632675     		φ = -1.09833981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83391031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.779541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09833981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.930236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82932 KachelY 95244 0.83391031 -1.09833981 47.779541 -62.930236
    Oben rechts KachelX + 1 82933 KachelY 95244 0.83395824 -1.09833981 47.782287 -62.930236
    Unten links KachelX 82932 KachelY + 1 95245 0.83391031 -1.09836163 47.779541 -62.931486
    Unten rechts KachelX + 1 82933 KachelY + 1 95245 0.83395824 -1.09836163 47.782287 -62.931486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09833981--1.09836163) × R
    2.18200000001723e-05 × 6371000     		dl = 139.015220001097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09833981--1.09836163) × R
    2.18200000001723e-05 × 6371000     		dr = 139.015220001097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83391031-0.83395824) × cos(-1.09833981) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.455075069185339 × 6371000     		do = 138.962646928589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83391031-0.83395824) × cos(-1.09836163) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.455055639390878 × 6371000     		du = 138.95671380711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09833981)-sin(-1.09836163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455075069185339-0.455055639390878)×R²
    abs(0.83395824-0.83391031)×1.94297944607347e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.94297944607347e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.94297944607347e-05×40589641000000     		ar = 19317.510538233m²