Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8292 / 24997
↖ ↑ ↗
← N 39.210975°
W134.450684°		 ← 473.25 m → N 39.210975°
W134.445191°		 →
↑
473.30 m
↓
↑
473.30 m
↓
N 39.206719°
W134.450684°		 ← 473.28 m →
223 998 m²		 N 39.206719°
W134.445191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126533508300781 y=0.381431579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126533508300781 × 216)
    floor (0.126533508300781 × 65536)
    floor (8292.5)     		tx = 8292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381431579589844 × 216)
    floor (0.381431579589844 × 65536)
    floor (24997.5)     		ty = 24997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8292 / 24997 ti = "16/8292/24997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8292/24997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8292 ÷ 216
    8292 ÷ 65536     		x = 0.12652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24997 ÷ 216
    24997 ÷ 65536     		y = 0.381423950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.7469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34660711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381423950195312 × 2 - 1) × π
    0.237152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.745035293894913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34660711} λ = -2.34660711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.745035293894913))-π/2
    2×atan(2.10651578081534)-π/2
    2×1.12757847352044-π/2
    2.25515694704088-1.57079632675     		φ = 0.68436062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34660711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.450684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68436062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.210975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8292 KachelY 24997 -2.34660711 0.68436062 -134.450684 39.210975
    Oben rechts KachelX + 1 8293 KachelY 24997 -2.34651124 0.68436062 -134.445191 39.210975
    Unten links KachelX 8292 KachelY + 1 24998 -2.34660711 0.68428633 -134.450684 39.206719
    Unten rechts KachelX + 1 8293 KachelY + 1 24998 -2.34651124 0.68428633 -134.445191 39.206719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68436062-0.68428633) × R
    7.42899999999214e-05 × 6371000     		dl = 473.301589999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68436062-0.68428633) × R
    7.42899999999214e-05 × 6371000     		dr = 473.301589999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34660711--2.34651124) × cos(0.68436062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774823407240606 × 6371000     		do = 473.252661052281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34660711--2.34651124) × cos(0.68428633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774870369586308 × 6371000     		du = 473.281345078686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68436062)-sin(0.68428633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774823407240606-0.774870369586308)×R²
    abs(-2.34651124--2.34660711)×4.69623457021173e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69623457021173e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69623457021173e-05×40589641000000     		ar = 223998.025148273m²