Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82917 / 20179
↖ ↑ ↗
← N 77.027709°
E 47.738342°		 ← 68.56 m → N 77.027709°
E 47.741089°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.027093°
E 47.738342°		 ← 68.57 m →
4 700 m²		 N 77.027093°
E 47.741089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632610321044922 y=0.153957366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632610321044922 × 217)
    floor (0.632610321044922 × 131072)
    floor (82917.5)     		tx = 82917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153957366943359 × 217)
    floor (0.153957366943359 × 131072)
    floor (20179.5)     		ty = 20179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82917 / 20179 ti = "17/82917/20179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82917/20179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82917 ÷ 217
    82917 ÷ 131072     		x = 0.632606506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20179 ÷ 217
    20179 ÷ 131072     		y = 0.153953552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632606506347656 × 2 - 1) × π
    0.265213012695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.83319125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153953552246094 × 2 - 1) × π
    0.692092895507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.17427395606689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83319125} λ = 0.83319125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17427395606689))-π/2
    2×atan(8.79579666851116)-π/2
    2×1.45759173334119-π/2
    2.91518346668238-1.57079632675     		φ = 1.34438714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83319125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.738342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34438714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.027709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82917 KachelY 20179 0.83319125 1.34438714 47.738342 77.027709
    Oben rechts KachelX + 1 82918 KachelY 20179 0.83323919 1.34438714 47.741089 77.027709
    Unten links KachelX 82917 KachelY + 1 20180 0.83319125 1.34437638 47.738342 77.027093
    Unten rechts KachelX + 1 82918 KachelY + 1 20180 0.83323919 1.34437638 47.741089 77.027093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34438714-1.34437638) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dl = 68.5519600006981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34438714-1.34437638) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dr = 68.5519600006981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83319125-0.83323919) × cos(1.34438714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224479807137432 × 6371000     		do = 68.5619112099625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83319125-0.83323919) × cos(1.34437638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224490292515688 × 6371000     		du = 68.5651137143754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34438714)-sin(1.34437638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224479807137432-0.224490292515688)×R²
    abs(0.83323919-0.83319125)×1.0485378255598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0485378255598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0485378255598e-05×40589641000000     		ar = 4700.16316380034m²