Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82913 / 20161
↖ ↑ ↗
← N 77.038802°
E 47.727356°		 ← 68.50 m → N 77.038802°
E 47.730102°		 →
↑
68.49 m
↓
↑
68.49 m
↓
N 77.038186°
E 47.727356°		 ← 68.51 m →
4 692 m²		 N 77.038186°
E 47.730102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632579803466797 y=0.153820037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632579803466797 × 217)
    floor (0.632579803466797 × 131072)
    floor (82913.5)     		tx = 82913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153820037841797 × 217)
    floor (0.153820037841797 × 131072)
    floor (20161.5)     		ty = 20161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82913 / 20161 ti = "17/82913/20161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82913/20161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82913 ÷ 217
    82913 ÷ 131072     		x = 0.632575988769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20161 ÷ 217
    20161 ÷ 131072     		y = 0.153816223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632575988769531 × 2 - 1) × π
    0.265151977539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.83299950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153816223144531 × 2 - 1) × π
    0.692367553710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.17513682026005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83299950} λ = 0.83299950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17513682026005))-π/2
    2×atan(8.80338952183627)-π/2
    2×1.45768854042899-π/2
    2.91537708085798-1.57079632675     		φ = 1.34458075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83299950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.727356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34458075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.038802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82913 KachelY 20161 0.83299950 1.34458075 47.727356 77.038802
    Oben rechts KachelX + 1 82914 KachelY 20161 0.83304744 1.34458075 47.730102 77.038802
    Unten links KachelX 82913 KachelY + 1 20162 0.83299950 1.34457000 47.727356 77.038186
    Unten rechts KachelX + 1 82914 KachelY + 1 20162 0.83304744 1.34457000 47.730102 77.038186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34458075-1.34457000) × R
    1.07499999999483e-05 × 6371000     		dl = 68.4882499996706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34458075-1.34457000) × R
    1.07499999999483e-05 × 6371000     		dr = 68.4882499996706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83299950-0.83304744) × cos(1.34458075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224291134102319 × 6371000     		do = 68.504285608595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83299950-0.83304744) × cos(1.34457000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224301610202837 × 6371000     		du = 68.5074852793481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34458075)-sin(1.34457000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224291134102319-0.224301610202837)×R²
    abs(0.83304744-0.83299950)×1.04761005182419e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04761005182419e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04761005182419e-05×40589641000000     		ar = 4691.84820875626m²